7-ma’ruza Optimal boshqaruv masalasining qo’yilishi. Pontryaginning maksimum prinsipi. Reja

a) Tez harakat bo’yicha optimal boshqarish masalasi. Agar t₀- berilgan (ma’lum) , t₁-noma’lum (izlanayotgan ) bo’lsa, tez harakat bo’yicha optimal boshqarish masalasiga ega bo’lamiz. Bu masalada kriteriy J=T(u)=t₁(u)-t₀ bo’ladi.
b) Terminal boshqarish masalasi. Bu masala (14), (15) masaladan, lar belgilangan, S₁(t)Rⁿ,t₀≤t≤t₁, bo’lgan holda olinadi. Terminal boshqarish masalasida kriteriy J=g₀(x(t₁)) ko’rinishda bo’ladi.
2. Pontryaginning maksimum prinsipi. Maksimum prinsipi –optimal boshqarish masalalarida optimallikning asosiy zaruriy sharti hisoblanadi. Bu natija XX asrning 50-yillari ikkinchi yarmida akademik L.S.Pontryagin boshchiligidagi sovet matematiklari tomonidan olingan.
Quyidagi:
(16)
(17)
optimal boshqarish masalasini qaraymiz.
Bu masalada t₀,t₁ vaqt momentlari belgilangan (o’zgarmas), x⁰-berilgan boshlang’ich nuqta. (16), (17) masala (14), (15) masaladan bo’lgan holda kelib chiqadi.
Faraz qilamizki, vektor - funksiyaning komponentlari va funksiyalar x bo’yicha uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lsin.
Maksimum prinsipini bayon qilish uchun Gamilton-Pontryagin funksiyasi deb ataluvchi,
(18)
funksiyani qaraymiz, bu yerda
u=u(t) joyiz boshqaruv, x(t)=x(t,u,x⁰) unga mos joyiz trayektoriya, [t₀,t₁] oraliqda aniqlangan bo’lsin. (u(t),x(t)),(t₀≤t≤t₁) juftlikka mos ravishda o’zgaruvchilarga nisbatan
(19)
sistemani qaraymiz. Unga qo’shma sistema deyiladi. (19) qo’shma sistemani vektor shaklda
(20)
kabi yozish mumkin, bu yerda
Agar (6) sistema x,u ga nisbatan chiziqli, ya’ni

ko’rinishda bo’lsa, va (20) qo’shma sistema

kabi bo’ladi, bu yerda ‘- transponirlash belgisi.
(20) qo’shma sistema –chiziqli differensial tenglamalar sistemasidan iborat bo’lib, u boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimga ega.