7-ma’ruza Optimal boshqaruv masalasining qo’yilishi. Pontryaginning maksimum prinsipi. Reja

1-teorema. Agar (16)-(17) masalaning yechimi bo’lsa, shunday sonlar va vektor-funksiya mavjud bo’ladiki, quyidagilar bajariladi:
1)
2) funksiya - (20) qo’shma sistemaning (x(t),u(t)) ga mos keluvchi yechimidan iborat;
3) u(t) optimal boshqarishning barcha t[t₀,t₁] uzluksizlik nuqtalarida funksiya u=(u₁,…,u_m) o’zgaruvchi bo’yicha V to’plamda aniq yuqori chegarasiga u=u(t) bo’lganda erishadi, ya’ni
(21)
4) (22)
(23)
(22) shartlarga transversallik shartlari deyiladi. (21) maksimum shartlari 1-teoremada markaziy o’rinni egallaydi. Shuning uchun uni va quyida keltiriladigan 2-teoremani maksimum prinsipi deb atash qabul qilingan.
Endi boshlang’ich yoki oxirgi vaqt momentlari belgilangan quyidagi :
(24)
(25)
optimal boshqarish masalasini qaraymiz.
Bu yerda funksiyalarni o’z aniqlanish sohalarida xususiy hosilalari bilan birga uzluksiz deb faraz qilamiz.
2-teorema. Agar -(24)(25) masalaning yechimi bo’lsa, shunday sonlar va vektor-funksiya mavjud bo’ladiki, ular 1-teoremaning 1)-3) shartlarini va quyidagi transversallik shartlarini qanoatlantiradi:
(26)
(27)
(agar t₀ belgilangan bo’lsa, (27) shart qatnashmaydi );
(28)
(agar t₁ belgilangan bo’lsa, (28) shart qatnashmaydi);
(29)
3. Maksimum prinsipining chegaraviy masalasi.. maksimum prinsipidan amaliyotda qanday foydalanish mumkinligini ko’rib o’tamiz.
funksiyani o’zgaruvchining funksiyasi deb qaraymiz va har bir belgilangan da
(30)
maksimallashtirish masalasini yechamiz.
(31)
shu masalaning yechimi bo’lsin, ya’ni
(32)
tenglik bajariilsin. Agar optimal boshqarish masalasi yechimga ega bo’lsa, maksimum shartiga ko’ra (31) funksiya aniqlangan bo’ladi. Ko’p hollarda (31) funksiyani oshkor ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi. Masalan, agar

( -berilgan sonlar) bo’lsa,

bo’ladi, bu yerda

U vaqtda (30) masala yechimi ning koordinatalari

ko’rinishda bo’lishi ravshan. Xususiy holda, agar bo’lsa, bo’ladi.
Agar V to’plam

ko’rinishda bo’lsa, (31) funksiyani oshkor shaklda

kabi yozish mumkin, bu yerda
Faraz qilaylik, bizga (31) funksiya ma’lum bo’lsin. U vaqtda x,ψ o’zgaruvchilarga nisbatan quyidagi 2n ta differensial tenglamalar sistemasini qaraymiz:
(33)
Differensial tenglamalar kursidan yaxshi ma’lumki, (33) tenglamalar sistemasining umumiy yechimi 2n ta ixtiyoriy parametrlarga (masalan, boshlang’ich shartlarga) bog’liq bo’ladi.
Bundan tashqari, maksimum prinsipidagi parametrlar ham noma’lum bo’lganligidan,ularni aniqlash uchun yana s+1 ta shart kerak bo’ladi. Shunday qilib, noma’lum 2n+s+1 ta parametrlarni aniqlash uchun 2n+s+1 ta shart zarur. Ularni maksimum prinsipidan, masalan, 1-teoremadagi (22),(23) shartlar hamda
(34)
shartlarni olamiz. Bu shartlar jami 2n+s ta tenglamalarni beradi. Yetishmayotgan yana bitta tenglamani olish uchun funksiyaning o’zgaruvchilarga nisbatan chiziqli va bir jinsli ekanligini, ya’ni ekanligini hisobga olamiz. U vaqtda (32) shartdan
(35)
ekanligi kelib chiqadi. Demak, maksimum prinsipida o’zgaruvchilar musbat ko’paytuvchi aniqligida topiladi. Demak,
(36)
deb olish mumkin. Agar a₀>0 ekanligi ma’lum bo’lsa, (36) shart o’rniga a₀=1 deb olish ham mumkin. (22),(23),(34),(36) tenglamalar sistemasini yechganda
(37)
shartlarning bajarilishi hisobga olinadi. Shunday qilib, maksimum prinsipi asosida (32) maksimum shartidan, (33) tenglamalar sistemasi va (22),(23),(34),(36),(37) shartlardan iborat maxsus chegaraviy masalaga ega bo’ldik. Bu masalaga maksimum prinsipining chegaraviy masalasi deyiladi.
Agar x(t) , ,- maksimum prinsipining chegaraviy masalasi yechimidan iborat bo’lsa, ularni (31) ga qo’yib,
(38)
funksiyani hosil qilamiz. Agar bu funksiya [t₀,t₁] oraliqda bo’lakli-uzluksiz bo’lsa, u optimalikka shubhali boshqarish bo’ladi. Agar optimal boshqarish masalasining yechimi mavjud va maksimum prinsipi chegaraviy masalasi yagona yechimga ega bo’lsa, (38) bo’lakli-uzluksiz funksiya optimal boshqaruvdan iborat bo’ladi.