7-maruza. Sonli qatorlar, qatorning yaqinlashishi va

7-maruza. Sonli qatorlar, qatorning yaqinlashishi va uzoqlashishi.

Reja.
1.Sonli qatorlar, qatorning yaqinlashishi va uzoqlashishi.

2.Geometrik qator. Yaqinlashuvchi qatorning xossalari.Qator yaqinlashishining zaruriy sharti.
3.Garmonik qator.Qator yaqinlashishining yetarli alomatlari. Taqqoslash alomati.dalamber alomati.
1. Sоnli qаtоr tushunchаsi. Qаtоrning yaqinlаshuvchаnligi vа uzоqlаshuvchаnligi. Aytaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin. Ushbu
(1)
ifoda sonli qator (qisqacha qator) deyiladi. Bunda sonlar qatorning hadlari, ga esa qatorning umumiy yoki hadi deyiladi.
Quyidagi


,…
yig‘indilar (1) qatorning qismiy yig‘indilari deyiladi.
Agar ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lsa,
( _-chekli son)
(1) qator yaqinlashuvchi deyiladi, son esa (1) qatorning yig‘indisi deyiladi va quyidagicha yoziladi:
.
Agar limit cheksiz yoki u mavjud bo‘lmasa (1) qator uzoqlashuvchi deyiladi.
2. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti.
Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa,

bo‘ladi.
Bu tasdiq qator yaqinlashishining zaruriy shartini ifodalaydi.
Eslatma. Qatorning umumiy hadi da nolga intilishidan uning yaqinlashuvchi bo‘lishi har doim kelib chiqavermaydi. Masalan, ushbu

garmonik qatorning umumiy hadi bo‘lib, u da nolga intiladi, ammo bu qator uzoqlashuvchi. [1]
Ravshanki, qator uchun bo‘lsa, unda qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
1-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin va yg‘indisi topilsin.
◄Berilgan qatorning qismiy yg‘indisi

bo‘ladi. Ravshanki, bu yg‘indi brinchi hadi maxraji bo‘lgan geometric progressiyaning dastlabki ta hadining yg‘indisidan iborat. Unda

formulaga ko‘ra

bo‘ladi.
Keyingi tenglikda limitga o‘tib topamiz:

Demak, berilgan qator yaqinlashuvchi, uning yg‘indisi 2 ga teng.►
2-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
◄Ravshanki, berilgan qatorning umumiy hadi

bo‘lib,

bo‘ladi. Qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishining zaruriy sharti bajarilmaydi. Demak, berilgan qator uzoqlashuvchi.►
2.1. Musbat hadli qatorlar.
Agar

qatorning har bir hadi manfiy bo’lmasa, ya’ni

bo‘lsa, qator musbat hadli (qisqacha musbat) qator deyiladi.
3. Taqqoslash alomatlari.
a) Aytaylik,
(2)
musbat qator bo‘lib,

uning qismiy yig‘indisi bo‘lsin. Ravshanki,

bo‘lib, bo‘lgani uchun

bo‘ladi. Demak, musbat qatorlarda uning qismiy yig‘indilaridan iborat ketma-ketlik o‘suvchi bo‘ladi.
Musbat hadli (2) qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi ning yuqoridan chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.
Eslatma. Agar

musbat hadli qatorda, uning qismiy yig‘indilaridan iborat ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsa, u holda qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Taqqoslash alomatlari.
a) Aytaylik, Ikkita musbat hadli qatorlar
(3)
(4)
uchun

bo‘lsa, u holda (4) qator yaqinlashuvchi bo‘lganda (3) qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi, (3) qator uzoqlashuvchi bo‘lganda (4) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
b) Agar musbat hadli (3) va (4) qatorlar uchun

bo‘lsa, u holda (4) qator yaqinlashuvchi bo‘lganda (3) qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi, (3) qator uzoqlashuvchi bo‘lganda (4) qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
3-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
◄Berilgan qatorning umumiy hadi uchun

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Unda solishtrish alomati hamda 1-misoldan foydalanib berilgan qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishini topamiz.►
Dalamber alomati.
Musbat hadli qator uchun

bo‘lib, bo‘lsa (2) qator yaqinlashuvchi, bo‘lsa, (2) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
5-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
◄ Bu qatorning va hadlari

bo‘ladi. Ularning nisbatining limiti

bo‘lib, u 1 dan katta ( chunki ). Demak, Dalamber alomatiga ko‘ra berilgan qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.►
Eslatma. Agar bo‘lsa, u holda (2) qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin.