7-mavzu: Vektorlar va ular ustida amallar

1-ta’rif. Agar _{1 1}+ _{2 2}+ ... + _{n n}=0 (1) ₁, ₂,..., _n larning xammasi bir paytda nolga teng bo’lmagan xolda o’rinli bo’lsa , u xolda
_{1, 2, . . . , n} vektorlarga chiziqli bog’liqli vektorlar deyiladi.


2-ta’rif. Agar (1) tenglik faqat ₁=₂=...=_n =0 bo’lganda o’rinli bo’lsa, u xolda _{1, 2, . . . , n} vektorlarga chiziqli bog’liqsiz vektorlar deyiladi.
Tekislikdagi xar qanday ikkita vektorning chiziqli bog’liqli bo’lishi uchun ularning kollinear vektorlar bo’lishi zarur va kifoya. Fazodagi har qanday uchta vektorning chiziqli bog’liqli bo’lishi uchun, ularning komplanar vektorlar bo’lishi shart.
Tekislikdagi xar qanday ikkita vektorning va fazodagi har qanday uchta vektorning chiziqli bog’liksiz vektorlar bo’lishi uchun ularning mos ravishda kollinear va komplanar vektorlar bo’lmasliklari zarur va kifoya.


Vektorni bazislar bo’yicha yoyish.


1-ta’rif. Tekislikdagi bazis deb ikkita kollinear bo’lmagan, ya’ni chiziqli bog’liqsiz _{1, 2} vektorlarga aytiladi.
1-teorema. Tekislikdagi biror vektorning ₁ va ₂ bazislar orqali yoyilmasi ko’rinishda bo’lib, yagona bo’ladi.
2-ta’rif. Fazodagi bazis deb, undagi xar qanday uchta komplanar bo’lmagan, ya’ni chiziqli bog’liqsiz bo’lgan vektorlarga aytiladi.
2-teorema. Fazodagi biror vektorning bazislar orqali yoyilmasi =_{1 1}+ _{2 2}+_{3 3} (2)
ko’rinishda bo’lib, yagona bo’ladi.
Endi dekart koordinata sistemasidagi bazis va ular bo’yicha vektorlarni yoyishni ko’raylik. Dekart koordinata sistemasida Ox, Ou, Oz o’qlar yo’nalishida mos ravishda uzunliklari birga teng bo’lgan vektorlarni | |=| |=| |=1 olaylik. Uzunliklari birga teng bo’lgan vektorlarga birlik vektor yoki ort deyiladi. Bu vektorlar o’zaro perpendikulyar bo’lib komplanar bo’lmagani uchun, ya’ni chiziqli bog’liqsiz vektorlar bo’lgani uchun bazislarni tashkil qiladi. Shuning uchun ularga dekart ortogonal bazislar deyiladi.
z E
va ; va ; va vektorlarning A
kollinear vektorlar ekanligini e’tiborga olsak
=₁ ; =₂ ; =₃ kelib chiqadi O D y =₁ + ₂ +₃ vektorning koordinata
o’qlaridagi proyeksiyalarini mos ravishda x B C
pr_Ox = _x= ₁ , pr_Ou = _y= ₂ , pr_Oz = _z= ₃ desak
=a_x + a_y +a_z formula kelib chiqadi.
Agar vektorning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalarini x,y,z desak,
=x +y +z yoki ={x,y,z},
=(x₂-x₁) + (y₂-y₁) +(z₂-z₁) yoki = {x₂-x_1,y₂-y_1,z₂-z₁}
ko’rinishlarda xam yozish mumkin.


Vektorlarning yo’naltiruvchi kosinuslari.


={x,y,z} vektor Ox,Ou,Oz koordinata o’qlari bilan mos ravishda burchaklar tashkil qilsin.
Ta’rif. vektorning koordinata o’qlari bilan xosil qilgan burchaklar kosinuslariga ya’ni cos ,cos,cos larga vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari deyiladi.
Proyeksiyalash qoidalaridan foydalansak chizmadan ko’rinadiki


x=a_x=pr_Ox =| |cos , z
y=a_y=pr_OU =| |cos  
x  y
x=a_z=pr_Oz =| |cos