8 Aynish mavjud bo'lgan holda g'alayonlanish nazariyasi

8.3.Aynish mavjud bo'lgan holda g'alayonlanish nazariyasi

Endi g‘alayonlanmagan operatorning xususiy qiymatlari aynigan holini ko‘rib chiqaylik, ya’ni bitta energiyaning xususiy qiymatiga bir nechta xususiy funksiyalar mos kelsin. Boshqacha aytganda, g‘alayonlanmagan sistemadagi xususiy qiymat orqali berilgan holat, o‘zaro ortoganal bo‘lgan funksiyalar, yoki ulaming ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalansin. G‘alayolanishni hisobga olgan holda operatorning xususiy qiymatlari aynimaydi, yoki ularning aynish darajasi kamayadi. Aynish mavjud bo‘lganida g‘alayonlanish yo‘qoladi, ya’ni aynishning ta’siri natijasida energiya sathi bir nechta bir-biriga yaqin joylashgan sathlarga ajraladi. Ushbu hosil bo’lgan sathlarning har biriga o‘zining yagona to’lqin funksiyasi mos keladi.

Endi masalani hal qilish uchun (8.7) tenglamaga murojaat qilinadi, lekin uni bir oz o‘zimizning hol uchun moslashtirishimiz kerak bo’ladi. Aynish mavjud bo‘lgan holda operatorning xususiy funksiyalari ikkita, ya’ni n va α, indekslarga bog’liq bo’ladi. Demak, bitta n indeks o‘rniga, ikkita n va α indekslarni ishlatish kerak. U holda

(8.38)

bo’ladi va (8.7) tenglama

(8.39)

ko’rinishga keladi. Bunda

(8.40)

g‘alayonlangan energiyaning matrik elementi bo’lib, aynigan holatlami ham o‘z ichiga qamrab olgan.

Bizni qiziqtirayotgan hol bu sathga yaqin joylashgan g‘alayonlangan sistemaning E_k kvant sathini va unga tegishli bo’lgan xususiy funksiyalarni aniqlashdan iborat. Aynish mavjud bo’lgan holda nolinchi yaqinlashishda (8.39) tenglamadan

(8.41)

ifoda kelib chiqadi va bundan da degan hulosaga kelinadi. Shuning uchun bu holda

(8.42)

bo’ladi. Nolinchi yaqinlashishda (8.39) tenglamalardan nolga teng bo’lmagan hadlar tanlab olinadi, ya’ni

(8.43)

tenglik ajratib olinadi. hadlami alohida ajratib, tenglamaning chap tomoniga o‘tkazilsa va k indeks vaqtincha yozilmasa, u holda quyidagi tenglamaga kelinadi:

(8.44)

Biz k indeksni faqat hadda saqlab qoldik, chunki sathga tegishli bo’lgan guruh holatlardan tashkil topgan. Olingan (8.44) tenglama noldan farqli bo‘lgan yechimlarga ega bo‘lishi uchun (8.44) tenglamaning diskriminanti nolga teng bo‘lishi kerak:

(8.45)

Hosil bo‘lgan E ga nisbatan tuzilgan darajali algebraik tenglamaning ildlzlari quyidagicha bo‘ladi:

(8.46)

matrik elementlar kichik bo‘lganligi sababli, bu olingan ildizlar bir- biriga yaqin joylashgan bo‘ladi. Demak, g‘alayonlanish natijasida aynigan holat bir qator bir-biriga yaqin joylashgan sathlardan iborat bo‘ladi va bunda aynish holatlar yo‘qoladi. Agarda (8.46) dagi bir necha ildizlar bir-biriga teng bo‘lsa, u holda aynish qisman yo‘qolgan bo‘ladi.

Nolinchi yaqinlashishdagi aniq to‘lqin funksiyani hosil qilish uchun cheksiz ko‘p chiziqli kombinatsiyalar ichida (8.44) tenglamaga tegishli bo‘lgan koeffitsiyentlar uchun funksiyalar to'plamini tanlab olish kerak:

(8.47)

Endi (8.45) tenglamani yechib, har bir (8.46) dagi ildizni qiymatini (8.44) dagi tenglamaga qo‘yish kerak. Bu orqali koeffitsiyentlar aniqlangan bo‘ladi va olingan natijani (8.47) qo‘yib, nolinchi yaqinlashishda izlanayotgan to‘lqin funksiyalari aniqlanadi.