8-ma’ruza boshlang’ich funksiya va aniqmas integral. Reja

7⁰. Agar funksiya uchun boshlang‘ich funksiya boʻlsa, ya’ni

boʻlsa, u holda tenglik oʻrinli boʻladi, bu yerda x ning differensiallanuvchi funksiyasi. Bu хossaga integrallash formulalarining invariantligi deyiladi.
4-misol. Agar boʻlsa, u holda

boʻladi. Natija toʻg‘riligiga ishonch hosil qilish uchun tenglamaning chap va oʻng qismining differensialini hisoblash yetarli. Haqiqatan ham,


3. Asosiy integrallar jadvali



















4. Bevosita integrallash usuli


5-misol. Integralni hisoblang:
Yechish. Suratni maхrajga boʻlib, keyin esa 5 va 6-хossalarni qoʻllab, integral belgisi ostidagi funksiyani almashtiramiz va integrallar jadvalidan foydalanib quyidagini hosil qilamiz:


Bu yerda .
5. Differensial belgisi ostiga kiritish usuli

Differensial belgisi ostiga kiritish usuli integral ostidagi ifodani almashtirishdan iborat. Masalan:

6-misol. integralni toping.
Yechish. boʻlgani uchun quyidagini hosil qilamiz:



6. Aniqmas integralda oʻzgaruvchini almashtirish

Integrallashning yana bir usuli bilan tanishamiz. Jadvalga kirmagan integralni hisoblash kerak boʻlsin. ni erkli oʻzgaruvchining biror differensiallanuvchi funksiyasi orqali ifodalab, integrallashning yangi oʻzgaruvchisini kiritamiz: bunga teskari funksiya mavjud boʻlsin, u holda boʻlib,

(10.1)
ekanini isbotlaymiz. Bu tenglikni quyidagicha tushinamiz: tenglikning oʻng qismida integrallashdan soʻng eski oʻzgaruvchiga qaytish kerak.
Isbotlash uchun (10.1) tenglikning chap va oʻng qismidan olingan differensialni topamiz, natijada quyidagini hosil qilamiz:
(10.2)
(10.3)
(10.2) va (10.3) formulalarni taqqoslab (10.1) tenglikning chap va oʻng qismlarining differensiallari teng ekanini koʻramiz. Bu esa boshlang‘ich funksiyalar faqat oʻzgarmas qoʻshiluvchiga farq qilishi mumkinligini anglatadi. (10.1) formulaning toʻg‘riligi isbotlandi.

Yechish. deb belgilaymiz, bunda va boʻladi. Integralda oʻzgaruvchini almashtiramiz. Bundan

1.