8-Ma’ruza mavzu: Funksiya. Akslantirish tushunchasi. Funksiya grafigi. Aniqlanish va qiymatlar sohasi. Sonli funksiyalar : juftligi, toqligi, o‘sishi, kamayishi, monotonligi, eng katta va eng kichik qiymatlari, ekstremumlari, chegaralanganligi

8-Ma’ruza mavzu: Funksiya. Akslantirish tushunchasi. Funksiya. Funksiya grafigi. 

Aniqlanish va qiymatlar sohasi. Sonli funksiyalar : juftligi, toqligi, o‘sishi, kamayishi, 

monotonligi, eng katta va eng kichik qiymatlari, ekstremumlari, chegaralanganligi, 

nollari, o‘zgarmas ishora oraliqlari, davriyligi. 

Reja: 

1. 

Akslantirish va funksiya. 

2. 

Funksiyaning aniqlanish va qiymatlar sohasi 

3. 

Funksiyaning   juft   va   toqligi 

4. 

Funksiyaning o‘sishi va kamayishi 

5. 

Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati 

6. 

Davriy funksiya. Teskari funksiya. 

Akslantirish va funksiya 

1-ta’rif.  A  to'plamdagi 

𝑥  elementning  B  to'plamdagi    𝑦  elementga  mos  qo'yilishi  akslantirish 

deyiladi.  Agar  A  to'plamning  har  bir  elementi  B  to'plamning  har  bir  elementiga  mos  qo'yilsa  A 

to'plam B to'plamga akslantirilgan deyiladi 

 

2-ta’rif. A to'plamdagi har bir 

𝑥 elementning B to'plamdagi aniq bir 𝑦 elementga biror qonun yoki 

qoida asosida mos qo'yilishi funksiya  deyiladi va 

𝑦 = 𝑓(𝑥) ko'rinishda belgilanadi. Bu yerda 𝑥 − 

erkli o'zgaruvchi  yoki argument, 

𝑦 − erksiz o'zgaruvchi yoki funksiya deyiladi. Masalan yo'lning 

tezlikka bog'liqligi, yoki tezlikning tezlanishga bog'liqligi  

1-misol. Mashina bir soatda 60 km yursa uning yo'l tenglamasini tuzing. Yechish: bir soatda 60 

km yursa,ikki soatda 120km yuradi demak, 

𝑠 = 60𝑡  

Funksiyaning aniqlanish va qiymatlar sohasi 

3-ta'rif.   

𝒚 = 𝒇(𝒙)  funksiyada  𝑥 ning  qabul  qila  oladigan  qiymatlari  funksiyaning  aniqlanish 

sohsi, 

𝑦 qabul qiladigan qiymatlari funksiyaning qiymatlari sohasi deyiladi. Aniqlanish soha 𝐷(𝑦), 

qiymatlar soha 

𝐸(𝑦) ko'rinishda belgilanadi 

2-misol. 

𝑦 = 2𝑥 funksiyaning aniqlanish sohasi  𝐷(𝑦) = (−∞; ∞), qiymatlar sohasi 

 

𝐸(𝑦) = (−∞; ∞) 

3-misol. 

𝑦 =

1

𝑥

 funksiyaning aniqlanish sohasida  

𝑥 ≠ 0 demak, 

 

𝐷(𝑦) = (−∞; 0) ∪ (0;  ∞). 1/𝑥 ≠ 0 demak, 𝐸(𝑦) = (−∞; 0) ∪ (0;  ∞) 

4-misol. 

𝑦 = |𝑥|    funksiyaning aniqlanish sohasi 𝐷(𝑦) = (−∞; ∞), |𝑥| har doim musbat yoki nol 

qiymatni qabul qiladi, bundan 

𝐸(𝑦) = [0; ∞) 

Aniqlanish sohasini topishga doir ba’zi holatlar: 

l. 

g( )

( )

x

y

f x



  bo‘lsa,  aniqlash sohasi 

( )

0

f x



   bo‘ladi.  

 

2.   

2

( )

n

y

f x



 ,  





n

N



 bo‘lsa,  aniqlash sohasi 

( )

0

f x



 bo‘ladi. 

 

3.   

2

1

( )

n

y

f x





 ,  





n

N



 bo‘lsa,  aniqlash sohasi 

( )

f x

 

 

   bo‘ladi. 

 

4.   

( )

( )

g x

y

f x



 bo‘lsa,   aniqlash sohasi 

( )

0

f x



 bo‘ladi. 

 

5.  

( )

g( )

y

f x

x





  bo‘lsa,  aniqlash sohasi 

( )

0

( )

0

g x

f x











 bo‘ladi. 

6. 

( )

( )

g( )

x

y

f x

x







 bo‘lsa,  aniqlash sohasi 

( )

0

( )

0

( )

g( )

g x

f x

f x

x













 



 bo‘ladi. 

7. 

( )

( )

f x

y

g x



 bo‘lsa,  aniqlash sohasi 

( )

0

( )

0

g x

f x











 bo‘ladi. 

8. 

( )

g( )

( )

f x

x

y

x







 bo‘lsa,  aniqlash sohasi 

( )

0

( )

0

( )

0

g x

f x

x



















 bo‘ladi. 

9. 

( )

( )

( )

g x

y

f x

x







 bo‘lsa,  aniqlash sohasi 

( )

0

( )

0

x

f x













 bo‘ladi. 

 

10.   

( )

log

( )

g x

y

f x



 bo‘lsa,   aniqlash sohasi 

( )

0,

( )

0,

( )

1;

f x

g x

g x

















  bo‘ladi. 

 

11. 

2

;  

;  

;   

;   

x

y

ax

bx c y

x

y

a

y

sin x y

cos x















 bo‘lsa,   aniqlash sohasi 





;

x

R

    

 

bo‘ladi. 

13. 

( )

( )

( )

( )

f x

g x

y

x

x











bo‘lsa,   aniqlash sohasi  

( )

0,    ( )

0,

( )

0,    ( )

0,

( )

( )

0

f x

g x

x

x

x

x































  bo‘ladi. 

 

Funksiyaning   juft   va   toqligi 

4-ta'rif. Agar istalgan 

x

X



 uchun -

x

X



 bo‘lsa, u holda 

X

 to‘plam O (koordinatalar boshi) nuqtaga 

nisbatan  simmetrik to‘plam deyiladi.  Butun sonlar to‘plami 

Z

, 





,

a a



, 





,

a a



,   (-



,



) kabi to‘plamlar 

koordinata boshiga nisbatan simmetrik to‘plamlardir. 

5-ta'rif.  Agar  istalgan 

x

X



  uchun 

 

 

f

x

f x

 

  bo‘lsa, 

 

f x X

  to‘plamda  juft  funksiya 

deyiladi.  Juft funksiyalarning grafigi ordinata o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.  

Misol: 

1) 

 

   

2

2

2

y

;  

y x

x

x

x

x



   



  

2) 

 

4

y x

x





 

   

4

4

y

;  

x

x

x

  



 

3)  

 

6

y x

x





 

   

6

6

y

;  

x

x

x

  



 

4) 

 

   

2

2

2

 

y

n

n

n

y x

x

x

x

x



   



 





;

n

N



 Bu funksiyalar juft. 

 

6-ta'rif.  Agar    istalgan 

x

X



  uchun 

 

 

f

x

f x

  

  bo‘lsa,  u  holda 

 

f x X

to‘plamda  toq 

funksiya deyiladi. Toq funksiyaning grafigi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.  

Misol: 

1) 

 

 

;

y x

x

y

x

x

    

  

2) 

 

3

y x

x





   

3

3

y

;    

x

x

x

  

 

 

3) 

 

5

y x

x





   

5

5

y

;    

x

x

x

  

 

 

3) 

 

   

2

1

2

1

2

1

y

,

n

n

n

y x

x

x

x

x









   

 

  

bu funksiyalar toq. 

 

7-ta'rif. Yuqoridagi ikkala tenglik ham bajarilmasa, funksiya juft ham, toq ham emas. 

Misol:

 

     

 

2

2

2

4

3

y

;  

4

y x

x

x

x

x

x

x

x

y x

x

x



 

  

  









 

   

 

4

3

4

3

2

y

4

 

 4x ;

5

2;  

3 

x

x

x

x

y

x

x

y

x

  

 











  

 funksiya juft ham, toq ham emas. 

Xossalari:  

        

) 

;   )  

;

a Juft

Juft

Juft b

Toq Toq

Toq









  

 

        

)  

  

,   

  

  

;

v

Juft

Toq

Juft ham

toq ham emas





  

 

        

)  

;     :

;    

;      :

. 

g

J J

J

J J

J

J T

T

J T

T

 



 



  

Funksiyaning o‘sishi va kamayishi 

1.Agar 





1

2

,  

;  

x x

a b



   bo‘lib  

1

2

x

x



 , 

1

2

( )

( )

f x

f x



 bo‘lsa, u holda 

( )

y

f x



 o‘suvchi bo‘ladi.  

2.Agar 





1

2

,  

;  

x x

a b



  bo‘lib  

1

2

x

x



 , 

1

2

( )

( )

f x

f x



bo‘lsa, u holda 

 

( )

y

f x



   kamayuvchi bo‘ladi. 

Fаrаz  qilаylik, 

),

,

(

1

b

a

x



 

)

,

(

2

b

a

x



  bo‘lib, 

2

1

x

x



  uchun 

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



  bo‘lsа, 

)

(x

f

  funksiya  (

b

a,

) 

orаliqdа o‘suvchi vа 

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



 bo‘lsа – kаmаyuvchi funksiya deyilаdi: 

5

3





x

y

 funksiya butun sonlаr 

o‘qidа o‘suvchi, 

2

R

Q





 







R

0

 uchun o‘suvchi, 

2

1

1

x

y





 

)

,

0

(





x

 orаliqdа kаmаyuvchi funksiyadir. 

Biror  D  sohаdа o‘suvchi  yoki kаmаyuvchi funksiyalаr monoton funksiyalаr deyilаdi. Аgаr 

2

1

x

x



 uchun 

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



))

(

)

(

(

2

1

x

f

x

f



  bo‘lsа, 

)

(x

f

  funksiya  noqаt’iy  o‘suvchi  (kаmаyuvchi)  funksiya  deyilаdi. 

Bundаy funksiyalаrgа noqаt’iy monoton funksiyalаr deyilаdi. 

2

x

y



 аniqlаnish sohаsi 

)

,

(





dа monoton 

emаs, lekin 

)

0

,

(



 orаliqdа monoton kаmаyuvchi, 

)

,

0

(



 orаliqdа esа monoton o‘suvchidir. 

Monoton funksiyalаrning bа’zi xossаlаrini isbotsiz keltirаmiz. 

)

(x

f

y



 funksiya  D  sohаdа o‘suvchi bo‘lsin, u holdа: 

1) 

c

x

f



)

(

 

)

(

R

c



 o‘suvchi bo‘lаdi; 

2) 

)

(x

cf

 

)

(





R

c

 o‘suvchi, 

)

(x

cf



 - kаmаyuvchi bo‘lаdi, 

3) 

0

)

(



x

f

 o‘suvchi bo‘lsа, 

)

(

1

x

f

 kаmаyuvchi 

0

)

(

(



x

f

 yoki 

)

0

)

(



x

f

bo‘lаdi. 

)

(x

f

y



 vа 

)

(x

y





 funksiyalаr  D  sohdа o‘suvchi bo‘lsin:  

4) 

)

(

)

(

x

x

f





 hаm shu sohаdа o‘suvchi, 

5) 

,

0

)

(



x

f

 

0

)

(



x



 bo‘lsа, 

)

(

)

(

x

x

f



 hаm o‘suvchidir; 

6) 

0

)

(



x

f

 bo‘lsа 

)

(x

f

n

 

)

(

N

n



 o‘suvchidir. 

 

Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati 

Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati haqida tushuncha beramiz. 

−5 ≤ 𝑥 ≤ 6 oraliqda aniqlangan 

funksiya grafigini qaraylik. 

 

𝒚 

 

D(7; 2) 

 

B(-2; 1) 

 

 

 

𝒙 

 

                                                                                             C(2; -1) 

 

A(-7;-2) 

 

A nuqtaning ordinatasi boshqa nuqtalarning ordinatalardan kichik bo'lganligi sababli shu nuqta funksiyaning 

berilgan kesmadagi eng kichik qiymati deyiladi. Bizning misolda funksiyaning eng kichik qiymati -2. Xuddi 

shunday D nuqtaning ordinatasi boshqa nuqtalarning ordinatasidan katta, shu sababli funksiyaning eng katta 

qiymati 2. Endi B nuqtaga e’tibor bering, B nuqtaning ordinatasi o’zining biror atrofidagi barcha nuqtalardan 

katta shuning uchun B nuqta funksiyaning maksimum nuqtasi deyiladi. Xuddi shunday C nuqtaning ordinatasi 

o’zining biror atrofidagi barcha nuqtalardan kichik shuning uchun B nuqta funksiyaning minimum nuqtasi 

deyiladi. 

 

Funksiyaning nollari 

8-tа’rif. 0 funksiyaning nollаri deb shundаy 

)

,...,

2

,

1

,

0

(

k

i

x

i



 

))

(

(

f

D

x

i



 sonlаrgа аytilаdiki, bu qiymatlar 

uchun 

0

)

(



i

x

f

 bo‘lsin. 

Boshqаchа  qilib  аytgаndа,  funksiyaning  nollаri  deb 

0

)

(



x

f

  tenglamani  qanoatlantiruvchi  x  ning 

qiymatlariga  aytiladi. 

4

)

(

2





x

x

f

  funksiyaning  nollari 

,

2

1





x

 

2

2



x

  dаn  iborаt, 

3

4

1

)

(

2









x

x

x

x

f

 

funksiya-ning noli 

.

1





x

  

 

Davriy funksiya. Teskari funksiya. 

 

Davriy funksiya. Tabiatda va amaliyotda ma'lum bit Tvaqt o'tishi bilan qaytadan takrorlanadigan jarayonlar 

uchrab turadi. Masalan, har T= 12 soatda soat mili bir marta to'liq aylanadi va oldin biror t vaqt momentida 

qanday o'rinda turgan bo'lsa, keying! t+ T, t+2T, umuman, 

 vaqt momentlarida yana shu o'ringa 

qaytadi.  Quyosh  bilan  Yer  orasidagi  masofa  T=1  yil  davomida  o'zgaradi,  ikkinchi  yilda  o'zgarish  shu 

ko'rinishda takrorlanadi. 

Umuman, shunday T soni mavjud bo'lsaki, y =f(x) funksiyaning D(ƒ) aniqlanish sohasidan olingan har qan-

day x uchun x + T, x - T sonlari ham D(ƒ) ga tegishli bo'lsa va ƒ(x) =f(x+T) =f(x-T) tengliklar bajarilsa, ƒ 

funk-siya dawiy ƒunksiya, T son shu funksiyaning davri, eng kichik musbat davr esa funksiyaning asosiy davri 

deyiladi. 

1-teorema.  Agar  T  soni  funksiyaning  davri  bo'lsa,  -T  ham  uning  davri  bo'ladi.  Agar  T,  va  T

2

  lar  f 

funksiyaning davrlari bo'lsa, T

t

+ T

2

 ham shu funksiyaning davri bo'ladi. 

I  s b o t. -T soni ƒ funksiyaning  davri ekani ta'rif bo'yicha  f(x)  =f(x-  T) =ƒ(x+  T) tenglikning bajarilayot-

ganligidan kelib chiqadi. T, + T

2

 ning davr ekani shu kabi isbotlanadi: f(t+ (T, + T

2

)) =f(t + T

I

 

+

 T

2

) =f(t + r,) 

=ƒ(t), f(t - (T

l+

T

2

))=f(t-T

t

 -T

2

) =f(t-T

{

) =f(t). 

N at ij a. Agar T son ƒ funksiyaning davri bo'lsa, kT son ham uning davri bo'ladi, bunda k — butun son. 

I s b o t. Matematik induksiya metodidan foydalana-miz. k= 1 da teorema to'g'ri: kT= T, Tesa shart bo'yicha 

davr. Agar k T funksiyaning davri bo'lsa, 1-teoremaga asosan, kT+ T= (k+ l)Tham davr. U holda induksiya 

bo'yicha barcha k butun sonlarda kT lar funksiyaning davri bo'ladi. 

2-teorema.  Agar  T  soni  ffunksiyaning  asosiy  davri  bo'lsa,  funksiyaning  qolgan  barcha  davrlari  Tga 

bo'linadi. 

I  s  b  o  t.  Isbotni  musbat  davrlar  uchun  ko'rsatish  yetarli.  T  soni  funksiyaning  asosiy  davri,  T,  esa  uning 

ixtiyoriy musbat davri bo'lsin. T

1

 ning T ga bo'linishini ko'rsatamiz. Aksincha, T

1

 soni T ga bo'linmaydi, deb 

faraz qilaylik. U holda r, = kT+ m ga ega bo'lamiz, bunda 

 Lekin T va 7, sonlari davr bo'lgani 

uchun m=T

1

-kT soni ham davr bo'ladi (1- teoremaga muvofiq). 0 < m < T ekani va m soni davr bo'lganidan T 

soni  asosiy  davr  bo'la  olmaydi.  Zidlik  hosil  bo'ldi.  Demak,  faraz  noto'g'ri.  Bundan  ko'rinadiki  T

1

  son  T  ga 

bo'linadi. Shu bilan teorema isbot bo'ldi. 

 

Intеrfаоl: Bilits savollar  

Grafigi berilgan funksiya uchun: I) o’sish; II) kamayish oraliqlarini toping. Agar mumkin bo’lsa, 

ularning maksimum va minimum nuqtalarini, eng katta va eng kichik qiymatlarini toping 

 

 

 

Uyga vazifa.  

1. 

Dekart koordinatalar tekisligida berilgan har qanday to’g’ri chiziq funksiya bo’ladimi? 

Javobingizni asoslang 

2. 

𝑥

2

+ 𝑦

2

= 9 tenglama yordamida berilgan ifoda funksiya bo’ladimi? 

3. 

𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 bo’lsa, quyidagi qiymatlarni toping: 

𝑎) 𝑓(0)       b) 𝑓(2)       c) 𝑓(−1)       d) 𝑓(−5) 

4. 

𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥

2

+ 2 bo’lsa, quyidagi qiymatlarni toping: 

𝑎) 𝑓(0)       b) 𝑓(3)       c) 𝑓(−7)       d) 𝑓(−3) 

5. 

𝑓(𝑥) = 𝑥 −

4

𝑥

 bo’lsa, quyidagi qiymatlarni toping: 

𝑎) 𝑓(4)       b) 𝑓(2)       c) 𝑓(−1)       d) 𝑓(−2)