8-mavzu. Bir jinsli bo`lmagan yuqori tartibli va ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Yuqori tartibli bir jinslimas chiziqli tenglamalar.

Bir jinslimas chiziqli yuqori tartibli tenglamalar quyidagi ko’rinishda bo’ladi

y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+...+a_ny=f(x) (1)
Bu tenglamaga mos bir jinsli tenglama

y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+...+a_ny=0 (2)
ko’rinishga ega bo’lib, uning umumiy yechimi

=C₁y₁+C₂y₂+...+C_ny_n. (3)
bo’ladi. Bu yerda ikkinchi tartibli bir jinslimas tenglama uchun keltirilgan teorema o’rinli bo’ladi.

Teorema. Bir jinslimas (1) tenglamaning umumiy yechimi (2) tenglamaning umumiy yechimi bilan (1) tenglamaning y^* xususiy yechimi yig’indisidan iborat bo’ladi. y=+y^*.

Isbot. (3) yechimdagi C₁, C₂, ..., C_n larni x ni funksiyalari deb hisoblab ixtiyoriy o’zgarmaslarni variyatsiyalash metodi bilan (1) tenglamani xususiy yechimini topamiz.

(4)
bu tenglamalar sistemasi yechimga ega. (4) tenglamalar sistemasini C^|₁, C^|₂, ..., C^|_n ga nisbatan yechish mumkin. Ularni integrallab quyidagilarni hosil qilamiz.



bu yerda integrallash o’zgarmaslaridir.

Endi

y^*=C₁y₁+C₂y₂+...+C_ny_n (5)
(1) tenglamaning umumiy yechimi ekanligini ko’rsatamiz. (4) tenglikni e’tiborga olib (5) ifodani n marta differensiallaymiz.

y^*=C₁y₁+C₂y₂+...+C_ny_n

y^*|=C₁y₁^|+C₂y₂^|+...+C_ny_n^|

.....................................

y^{* (n)}=C₁y₁⁽ⁿ⁾+C₂y₂⁽ⁿ⁾+...+C_ny_n⁽ⁿ⁾+f(x)
Bu tenglamaning birinchisini a_n ikkinchisini a_n-1 oxirgisini 1 ga ko’paytirib qo’shsak quyidagi tenglamani hosil qilamiz.

y^{* (n)}+a₁y^{* (n-1)}+...+a_ny^x=f(x)
O’ng tomondagi vertikal ustunlar bo’yicha qo’shilgan hadlar yig’indisi nolga teng, chunki y₁, y₂, ..., y_n funksiyalar bir jinsli (2) tenglamaning yechimlaridir. (5) yechimi ixtiyoriy o’zgarmaslarga bog’liq bo’lgani uchun u (1) tenglamaning umumiy yechimidir. Demak, teorema isbotlandi.

Misol. y⁽⁴⁾-16y=64(x+3)e^2x

k⁴-16=0 k²+4=0 k²-4=0

k₁=2, k₂=-2, k₃=2i, k₄=-2i

y=(Ax+B)xe^2x=(Ax²+Bx)e^2x

y^|=(2Ax²+(2A+2B)x+B)e^2x.

y^||=(4Ax²+(8A+4B)x+2A+4B)e^2x.

y^|||=((8Ax²+(24A+8B)x+(12A+12B))e^2x.

y^|V=(16Ax²+(64A+16B)x+48A+32B)e^2x.

(16Ax²+(64A+16B)x+48A+32B-16Ax²-16Bx)e^2x=64(x+3)e^2x.

16A-16A=0

64A=64 A=1

48A+32B=192 32B=192-48 32B=44

B=144:32=9/2

Demak, xususiy yechim quyidagi ko’rinishda bo’ladi.

y=(x+9/2)xe^2x.

Savollarga javob bering.

T.1. Yuqori tartibli chiziqli bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan differensial tenglama nima?

T.2. Chizili va chiziqli bo’lmagan differensial tenglamalarning farqi nimada?

T.3. Boshlangich shartlar qanday aniqlangan?

T.4. Differensial tenglamaning tartibi deganda nima tushuniladi?

T.5. Oddiy va hususiy hosilali differensial tenglamalar deganda qanday tenglamalarni tushunasiz?

Misollar.

Quyida keltirilgan tenglamalarning oddiy yoki hususiy hosilali ekanligini tartibini, chiziqli yoki chiziqli emasligini aniqlang.Har bir hol uchun erkli va erksiz o’zgaruvchilarni aniqlang.

Differensial tenglamalar.

1. 
   Bessel tenglamalari (_-prametr)
   

_ (1)

2. 
   Burger tenglamasi:
   

_ (2)

3. 
   Logistikaning populatsiya modeli:
   

_ (3)

4. 
   Tebranish tenglamasi:
   

_ (4)

Foydalanilgan adabiyotlar
1. Соатов Ё.У Олий математика. 1-5 ?исмлар. -Т.: Ў?итувчи, 1995.

2. Danko P.S., Popov A.G., Kojevnikova T.Ya. Oliy matematika misol va masalalarda, 1-qism. -T.: O'zbekiston faylasuflar milliy jamiyati, 2007.

3. Gerd Baumann. Mathematics for Engineers I. Basic calculus. Oldenbourg Verlag Munchen 2010.

4. Gerd Baumann. Mathematics for Engineers II. Calculus and Linear Algebra Oldenbourg Verlag Munchen 2010.

5.. Д.Писменный. "Конспект лекции по высшей математике", 1,2 часть. -M.: Айрис Пресс, 2008.

6. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Под общей редакцей. А.П.Рябушко. в 3 ч. -Минск. "Высшая школа". 2007.