8-mavzu. Bir jinsli bo`lmagan yuqori tartibli va ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

8-mavzu.

Bir jinsli bo`lmagan yuqori tartibli va ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.
Reja

1. Bir jinsli bo`lmagan yuqori tartibli va ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.

2. Lagranjning ixtijoriy o`zgarmasni variatsiyalash usuli.

3. O`ng tomoni maxsus ko`rinishdagi tenglamalar.

Bir jinsli bo’lmagan chiziqli

y^||+py^|+qy=f(x) (1)

tenglama berilgan bo’lsin. Bu yerda p va q haqiqiy sonlar.

O’zgarmas koeffitsientli chiziqli tenglamani yechishda xususiy yechimni, integrallashni tatbiq etmasdan topish mumkin bo’lgan imkoniyatlarni ko’rib chiqamiz.

1. 
   (1) tenglamaning o’ng tomoni quyidagi ko’rinishda bo’lsin
   

f(x)=P_n(x)e^x, (2)

bu yerda P_n(x) n-darajali ko’phad, e^x-ko’rsatkichli funksiya. Quyidagi xususiy hollar bo’lishi mumkin.

a)  soni k²+pk+q=0

xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmagan hol. Xususiy yechimni quyidagi ko’rinishda izlash kerak:

y=(A₀xⁿ+A₁x^n-1+...+A_n)e^x=Q_n(x)e^x (3)

y (1) tenglamaga qo’yib, barcha hadlarini e^x ko’paytuvchiga qisqartirsak, quyidagi tenglikka ega bo’lamiz.
Q^||_n(x)+(2+p)Q^|_n(x)+(²+p+q)Q_n(x)=P_n(x) (4)
bu yerda Q_n(x) n-darajali, Q^|_n(x) (n-1)-darajali, Q^||_n(x) (n-2)-darajali ko’phad.

Bir хil darajali x lar oldidagi koeffitsientlarni bir-biriga tenglab noma’lum A₀,A₁,..., A_n koeffitsientlarni topish uchun (n+1) ta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

b)  son xarakteristik tenglamaning bir karrali ildizi bo’lgan holda, y xususiy yechim quyidagi holda olinadi:

y=xQ_n(x)e^x
v)  son xarakteristik tenglamaning ikki karrali ildizi bo’lgan holda xususiy yechim quyidagi holda olinadi:

y=x²Q_n(x)e^x.

Misol. Ushbu y^||-2y^|+5y=xe^2x tenglamaning y(0)=0, y^|(0)=0 boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Bir jinsli tenglamaning yechimi quyidagicha bo’ladi.

=e^x(C₁cos2x+C₂sin2x).

Bir jinsli bo’lmagan tenglamaning o’ng tomoni xe^2x ko’rinishda k²-2k+5=0 xarakteristik tenglamaning ildizi 2 bo’lmagani uchun xususiy yechimni ko’rinishda izlaymiz. Noma’lum A va V koeffitsientlarni topish uchun y^ funksiyani va uning x bo’yicha hosilalarini berilgan tenglamaga qo’yamiz, hamda chap va o’ng tomondagi koeffitsientlarini taqqoslaymiz.Buning uchun y^,y^|,y^|| ning ifodalarini yozib olamiz va har birining chap tomoniga ular tenglamaga kiradigan koeffitsientlarini yozib qo’yamiz.

y^=(Ax+B)e^2x=Axe^2x+Be^2x

y^|=(A+2B)e^2x+2Axe^2x

y^||=(4A+4B)e^2x+4Axe^2x
y^, y^|, y^|| topilgan qiymatlarni berilgan tenglamaga qo’yib noma’lum koeffitsient A va V larni topamiz.

5Ax+5B=x

bu yerdan 5A=1, A=1/5.

5B=0, B=0.

Tenglamaning xususiy yechimi quyidagi ko’rinishni oladi:

Bir jinsli bo’lmagan tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi.

y(0)=0 y^|(0)=0 boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi tenglamaning yechimi quyidagicha bo’ladi.

2. Agar o’ng tomon

f(x)=P(x)e^xcosx+Q(x)e^xsinx (5)
ko’rinishda bo’lsa, (bu yerda P(x) va Q(x) ko’phadlar) u holda xususiy yechim quyidagicha aniqlanadi.

a) agar +i son xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa, (1) tenglamaning xususiy yechimini

y^*=u(x)e^xcosx+v(x)e^xsinx (6)
ko’rinishda izlash kerak, bunda u(x) va v(x) darajasi P(x) va Q(x) ko’phadlarning eng yuqori darajasiga teng bo’lgan ko’phadlardir.

b) +i soni xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lsa, (1) tenglamaning xususiy yechimini

y^*=x[u(x)e^xcosx+v(x)e^xsinx] (7)
ko’rinishda olamiz. Xususiy yechimlarning ko’rinishi (1) tenglamaning o’ng tomonidagi P(x) va Q(x) ko’phadlardan birortasi aynan nolga teng bo’lgan holda ham o’rinlidir.

v) Ikkinchi tartibli chiziqli tenglamaning o’ng tomoni

f(x)=Mcosx+Nsinx (8)
ko’rinishda bo’lsin, bu yerda M, N-o’zgarmas sonlar

1. 
   agar i xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa, xususiy yechimni
   

y^*=Acosx+Bsinx (9)

2. 
   agar i xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lsa, xususiy yechimni
   

y^*=x(Acosx+Bsinx) (10)
3) agar M=0 yoki N=0 bo’lsa ham xususiy yechimni (9) yoki (10) ko’rinishda izlash kerak.

Misol. Bir jinsli bo’lmagan chiziqli

y^||-4y^|+13y=sin2x
tenglamaning umumiy integrali topilsin.

Yechish. k²-4k+13=0 xarakteristik tenglama k₁=2+3i, k₂=2-3i kompleks ildizlarga ega. Unga mos bir jinsli tenglamaning umumiy integrali

=e^2x(C₁cos3x+C₂sin3x)
bo’ladi. Bir jinsli bo’lmagan tenglamaning xususiy yechimini

y^*=Acos2x+Bsin2x
ko’rinishda izlaymiz, bunda A va V aniqlanishi kerak bo’lgan o’zgarmas koeffitsientlar. y^* ni berilgan tenglamaga qo’ysak, u quyidagi ko’rinishni oladi
-4Acos2x-4Bsin2x+8Asin2x-8Bcos2x+

+13Acos2x+13Bsin2x=sin2x

Bu yerdan A va V koeffitsientlarni aniqlash uchun ikkita tenglama hosil bo’ladi.

-4A+8B+13A=0

-4B+8A+13A=1 bu yerdan A=8/145, B=9/145.

Umumiy yechim quyidagi ko’rinishda bo’ladi