9 -ma’ruza Ikki karrali integral. Ikki karrali integral va uning xossalari. Ikki karrali integralni hisoblash. Reja

0. 
   9 -ma’ruza
   

Ikki karrali integral. Ikki karrali integral va uning xossalari. Ikki karrali integralni hisoblash.


Reja:

1. 
   Ikki karrali integralning ta`rifi.
   
2. 
   Ikki karrali integralning xossalari.
   
3. 
   Ikki karrali integralni hisoblash.
   

Z= f (x, y) funksiya uchun ikki karrali integrallar tushunchasi

Egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi to’g’risidagi masala oddiy aniq integral tushunchasini kiritishga keltirilgan edi.Silindrik g’o’laning hajmi haqidagi masala ikki karrali (aniq) integral tushunchasiga olib keladi.

Yuqoridan Z=f (x, y) sirt bilan, yonlaridan yasovchisi OZ o’qiga parallel bo’lgan silindrik sirt bilan, pastdan XOY tekisligidagi tekis shakl (P) bilan chegaralangan jismning hajmi V ni topish kerak bo’lsin.

Dastlab, (P) sohani egri chiziqlar to’ri bilan (P1), (P2), . . . .. . (Pn) bo’lakchalarga ajratamiz va asoslari shu bo’lakchalar bo’lgan, hammasi birgalikda berilgan jismni hosil qiladigan silindrik ustunchalarni qaraylik. Bu ustunchalar hajmlarini hisoblash uchun har bir shakl (Pi) dan bittadan ixtiyoriy (ζi, ƞi) nuqta olamiz. Agar har bir ustunchani balandligi f (ζi, ƞi) applikataga taqriban teng bo’lgan silindr deb olsak, alohida olingan bir ustunchaning hajmi taqriban f (ζi, ƞi) ∙ Pi ga teng bo’ladi, bu yerda Pi - asosdagi (Pi) shaklning yuzasi. U holda jismning to’la hajmi uchun taqribiy ifoda

V ≈ _{ }∙ Pi
hosil bo’ladi. Bu tenglikning aniqligini oshirish uchun (Pi) bo’lakchalar sonini oshirib borib, (Pi) yuzchalar diametrlarining eng kattasi nolga intilganda, ya’ni n_{ } da limitda, bu taqribiy tenglik aniq tenglikka aylanadi:
V = _{ }∙ Pi
Ana shu ko’rinishdagi ifodaning limiti f(x,y) funksiyadan (P) soha bo’yicha olingan ikki karrali integral deyiladi va
_{ }∙ Pi
simvol bilan belgilanadi. V hajm uchun quyidagiga ega bo’lamiz:
V = _{ }
Shunday qilib,ikki karrali integral oddiy aniq integral tushunchasining ikki argumentli funksiya uchun bevosita umumlashtirilishidir.