9- mustaqil ish topshiriqlari. O’zgarmas koeffisientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar. Xarakteristik ko’pxad

9- MUSTAQIL ISH TOPSHIRIQLARI.
O’zgarmas koeffisientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar. Xarakteristik ko’pxad.
O’zgarmas koeffisientli chiziqli bir jinsli
(1)
tenglamani yechish uchun
(2)
xarakteristik tenglamani tuzish va uning ildizlarini topish kerak.
Agar ildiz (2) xarakteristik tenglamaning oddiy ildizi bo’lsa, u holda (1) tenglamaning bu ildizga mos kelgan umumiy yechimi ko’rinishda bo’ladi. Agar ildiz (2) tenglamaning karrali ildizi bo’lsa, u holda (1) tenglamaning bu ildizga mos kelgan umumiy yechimi
(3)
ko’rinishda bo’ladi. Bu yerda barcha - ixtiyoriy o’zgarmaslar. (1) tengla-maning koeffitsientlari va ildizlar haqiqiy yoki kompleks bo’lishi mumkin.
Agar (1) tenglamaning hamma koeffisientlari haqiqiy bo’lsa, u holda hattoki ildizlar kompleks bo’lgan holda ham yechimni haqiqiy ko’rinishda yozish mumkin. Haqiqatan ham, agar bu kompleks ildiz (2) tenglamaning oddiy ildizi bo’lsa, u holda kompleks qo’shma ildizlarning har bir juftiga

umumiy yechim mos keladi, bu yerda ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Agar bu kompleks ildiz (2) tenglamaning karrali ildizi bo’lsa, u holda kompleks qo’shma ildizlarning har bir juftiga

umumiy yechim mos keladi. Bu yerda va - ( )-darajali ko’phadlar bo’lib, ularning koeffitsientlari ixtiyoriy haqiqiy sonlardir.
Tenglamalarni yeching:
1.
◄Xarakteristik tenglamani tuzamiz: Uning ildizlari va . ildizga , ildizga esa xususiy yechimlar mos keladi. Bu yechimlarning ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi: .►
2.
◄Berilgan differentsial tenglamaga mos kelgan xarakteristik tenglama va ildizlarga ega. haqiqiy ildizga mos kelgan umumiy yechim , kom-pleks qo’shma ildizlar juftiga mos keladigan umumiy yechim esa ko’rinishda bo’ladi.
Shunday qilib, dastlabki tenglamaning umumiy yechimini yoza olamiz:
.►
3.
◄Berilgan differentsial tenglamaga mos xarakteristik tenglamani yechib, , ildizlarni olamiz. Xarakteristik tenglama 2 karrali kompleks ildizlarga ega bo’lganligi uchun dastlabki tenglamaning umumiy yechimi

Ko’rinishda bo’ladi.►
4.
◄Berilgan tenglamaga mos kelgan xarakteristik tenglamani yechib, , , ildizlarni olamiz. 3 karrali ildizga mos kelgan umumiy yechim , ildizga mos kelgani va kompleks ildizlarga mos kelgani esa ekanligini bilgan holda dastlabki tenglamaning umumiy yechimini yozamiz: .►
5.
◄Berilgan differensial tenglamaga mos kelgan xarakteristik tenglama va ildizlarga ega, shuning uchun dastlabki tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishda bo’ladi.
Berilgan boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni to-pish uchun umumiy yechimdan hosila olamiz: bўladi. So’ngra umumiy yechimning ifodasida o’rniga mos ravishda ularning qiymatlarini qo’yamiz: bundan qiymatlarni olamiz. Izlanayotgan xususiy yechim ko’rinishda topiladi.►
TOPSHIRIQLAR
1. Tenglamani yeching.
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. . 14. .
15. . 16.
17. . 18. .
19. . 20. .
21. . 22. .
23. . 24. .
25. . 26. .
27. . 28. .
29. . 30. .
2. Сhegaraviy masalani yeсhing.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .