9-ma’ruza Funksiya tushunchasi va uning xossalari. Reja

1-chizma. Funksiyaning X va Y to‘plamlar orasidagi grafik tasviri. va to‘plamlar mos ravishda aniqlanish va o‘zgarish sohalari.

Umuman olganda A va B to‘plamlar haqiqiy sonlar to‘plamidan olingan bo‘lishi shart emas. Ammo, biz funksiyalarni o‘rganishda, asosan, A va B larni sonli to‘plamlar, deb qaraymiz.

1-misol. Formula bilan berilgan funksiya.

Ushbu formula, x bilan x³ orasidagi f bog‘lanishni ko‘rsatadi. Bundan, , , ekanligi kelib chiqadi.

2-misol. Formula bilan berilgan funksiya

formula bilan berilgan funksiyaning , va dagi qiymatini toping.

bo‘lganda . Agar bo‘lsa, . Agar bo‘lsa, .

Izox. Agar x element f ning aniqlanish sohasidan olingan bo‘lsa, unga (2.13 ta’rif bo‘yicha) f bo‘yicha faqat bitta element mos keladi. Bu degani, funksiya ko‘p qiymatli bo‘lishi mumkin emas. Masalan, ifoda x ning funksiyasi bo‘la olmaydi, chunki, har bir musbat x ga ikkita qiymat mos kelyapti.

Agar funksiya formula bilan berilgan bo‘lsa, u holda, funksiyaning aniqlanish sohasi deganda, argumentning formulaga ma’no beradigan qiymatlari to‘plami tushuniladi.

3-misol. Formula bilan berilgan funksiya.

Ushbu formula bilan berilgan funksiyani tekshiring. Ko‘rinib turibdiki, bo‘lganda g(x) funksiya ma’noga ega emas. Shu sababli, uning aniqlanish sohasi [1,+∞) bo‘ladi. endi, x ning bu oraliqdagi qiymatlarida son 0 dan +∞ gacha o‘zgaradi. Demak, g ning o‘zgarish sohasi [0,+∞) bo‘ladi. Bu sodda holda (monoton funksiya), ikki chegaralanmagan oraliqlarni o‘zaro akslantiryapti.

4-misol. Formula bilan berilgan funksiya.

Ushbu funksiyani qaraylik. Bu yerda x=1 yoki x=3 bo‘lganda h(x) funksiya aniqlanmagan, chunki, nolga bo‘lib bo‘lmaydi. Qolaversa, h(x) funksiya boshqa nuqtalarda haqiqiy son bo‘ladi. Demak, h(x) funksiya x=1 yoki x=3 dan boshqa nuqtalarda haqiqiy son bo‘ladi. Bu funksiyaning aniqlanish sohasini interval ko‘rinishda quyidagicha tasvirlanadi:.

5-misol. Funksiya va uning tasviri.

Faraz qilaylik mashina, minutni 12 marta oshirsin. Mashina natijalarini vaqtning funksiyasi deb qarasak, u kabi belgilanadi. Demak, .

Bu funksiyaning aniqlanish sohasi, barcha haqiqiy sonlar to‘plami bo‘ladi, chunki, funksiya barcha t, haqiqiy sonlar uchun aniqlangan. Ammo, fizika nuqtai nazardan qarasak, vaqt t, manfiy son bo‘la olmaydi(bir minut yoki butun son ko‘paytirilgan bir minut). Shu sababli, berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi, {0, 1, 2, 3, . . . } to‘plamdan iborat bo‘ladi. Mana shu mulohazalardan kelib chiqib, funksiyani

kabi yozamiz.

Keyingi misol, funksiya, ba’zi hollarda maxsus formulalar bilan berilishi mumkinligini ko‘rsatadi.

6-misol. Avtomobil motorining ishlash prinsipi.

2-chizma. Avtomobil motorining ishlash prinsipi, da boshlanib da tugaydi.

Avtomobil motori 4 bosqichda turlicha ishlaydi. Shu sababli, funksiya quyidagicha bo‘ladi:

Bu funksiyaning grafik tasviri 2-chizmada keltirilgan.

Har doim ham funksiya maxsus usulda berilavermay, jadval usulda ham beriladi.

7-misol. Funksiyaning jadval usulda berilishi.

Agar x o‘zgaruvchining bir nechta ayrim qiymatlarida u funksiyaning shu nuqtalarga mos qiymatlari berilgan bo‘lsa, u holda bu qiymatlarni jadval ko‘rinishda tasvirlanadi. Masalan,

x	-1	0	1	2	3	4
u	0,5	1	1,5	2	2,5	3

Bunday jadvallar, odatda, biror eksperiment(tajriba) natijasida hosil qilinadi. Quyidagi jadval, falokat paytida, kuch kattalashining koordinata orqali ifodasini bildiradi.

Natijalarning grafik tasviri 3-chizmada keltirilgan.

3-chizma. Falokat paytida, kuch kattalashining koordinatalari.

Agar x element f ning aniqlanish sohasidan olingan bo‘lsa, u holda sonlarning

tartiblangan juftligi f ning x dagi qiymatini ko‘rsatadi. Masalan,

uchun quyidagi jadvalni keltirish mumkin.

Shuning uchun, yozuvda, x erkli o‘zgaruvchi, y bog‘liq o‘zgaruvchi deymiz.

8-misol. Erkli va bog‘liq o‘zgaruvchilar.

Agar bo‘lsa, u holda x erkli o‘zgaruvchi, bog‘liq o‘zgaruvchi bo‘ladi.

Quyidagi ta’rif, funksional bog‘lanishni geometrik talqinidir.