9-ma’ruza Funksiya tushunchasi va uning xossalari. Reja

2-ta’rif. Grafik.

Berilgan f funksiyaning grafigi deb, tenglamaning grafigini aytamiz.

9-misol. Grafik. funksiyaning grafigi qurilsin.

Yechilishi. Ta’rifga ko‘ra funksiyaning grafigi to‘g‘ri chiziq grafigi bilan bir xil va u 4-chizmada ko‘rsatilgan.

4-chizma. tenglama grafigi.

10-misol. Grafik. funksiyaning grafigi qurilsin.

Yechilishi. Ta’rifga ko‘ra funksiyaning grafigi yoki tenglama grafigidan iborat. Oxirgini,

kabi yozish mumkin. Uning grafigi 5-chizmada ko‘rsatilgan.

5-chizma. funksiyaning grafigi.

Bu grafik bo‘lganda, to‘g‘ri chiziq bilan, bo‘lganda, to‘g‘ri chiziq bilan ustma-ust tushadi.

11-misol. Kasr ifoda grafigi. funksiya grafigi chizilsin. Bu funksiyani

(4)

kabi yozsak, u algebraik nuqtai nazardan ga qisqartirilishi mumkin. shundan so‘ng uni

kabi yozib olamiz. Ammo biz berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi x=2 dan boshqa nuqtalar bo‘lishi kerakligini bilamiz. Shu sababli quyidagi noaniqlik kelib chiqadi.

Agar (4) dan foydalanib h ning dagi qiymatini hisoblasak

h(2)=2+2=4 bo‘ladi. Aslida esa, aniqmaslikka ega bo‘lamiz.

Demak, ga qisqartirish mumkin emas. Shuning uchun, (4) ni

va

kabi yozamiz.

Quyida ikki funksiya grafigi farq qilmaydigan qismi tasvirlangan.

6-chizma. va funksiyalar grafigi.

12-misol. Uzilishga ega funksiya grafigini chizish.

Quyidagi funksiya grafigini chizing:

Ta’rifga ko‘ra, g ning grafigi quyidagi funksiya grafigi bilan bir xil:

Shunday qilib, bo‘lganda y ning qiymati 1 ga teng, bo‘lganda y ning qiymati ga teng bo‘ladi. Uning grafigi quyida tasvirlangan.

7-chizma. Uzilishga ega funksiya grafigi.

Izox. Shuni ta’kidlash joizki funksiyaning x=2 dagi qiymati u=2 gorizontal to‘g‘ri chiziqqa tegishli, og‘ma to‘g‘ri chiziqqa emas.

Keyingi misollarning har birida berilgan funksiya grafigini topamiz. SHuningdek, teskari masalani ham ko‘rib chiqamiz. Agar xOu tekisligida biror graf berilgan bo‘lsa, u holda biror f funksiya mavjud bo‘lib, berilgan egri chiziq uning grafigi bo‘ladimi? Bunday masalalar quyidagi misollarda tadqiq qilinadi.

Xuddi sonlarni qo‘shib, ayirib, ko‘paytirib va bo‘lib yangi sonlar hosil qilingani kabi, funksiyalarni ham qo‘shib, ayirib, ko‘paytirib va bo‘lib yangi funksiyalar hosil qilish mumkin. bu amallar quyidagicha aniqlangan:

Bu , va funksiyalarning aniqlanish sohasi f va g funksiyalar aniqlanish sohalari kesishmasidan, ning aniqlanish sohasi bu kesishmadan bo‘ladigan nuqtalarni chiqarib tashlanganiga teng¹.

funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin.









funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin.



Masalan, , funksiyalar davriy funksiyalar bo‘lib, ularning davri ga, , funksiyalarning davri esa ga teng.

Davriy funksiyalar quyidagi xossalarga ega:

a) Agar davriy funksiya bo‘lib, uning davri bo‘lsa, u holda sonlar ham shu funksiyaning davri bo‘ladi.

b) Agar va sonlar funksiyaning davri bo‘lsa, u holda hamda sonlar ham funksiya-ning davri bo‘ladi.

c) Agar hamda lar davriy funksiyalar bo‘lib, ularning har birining davri bo‘lsa, u holda

, , ,

funksiyalar ham davriy funksiyalar bo‘lib, son ularning ham davri bo‘ladi.

13-misol. Ixtiyoriy ratsional son Dirixle funksiyasi

ning davri bo‘lishi ko‘rsatilsin.

Aytaylik, ratsional son bo‘lsin. Ravshanki, irratsional son uchun – irratsional son, ratsional son uchun ratsional son bo‘ladi. Demak,

Shunday qilib, , – ratsional son bo‘lganda

bo‘ladi.

Ma’lumki, uchun  bo‘lsa, X to‘plam O nuqtaga nisbatan simmetrik to‘plam deyiladi.

Aytaylik, O nuqtaga nisbatan simmetrik bo‘lgan to‘plamda funksiya berilgan bo‘lsin.

Masalan, juft funksiya, esa toq funksiya bo‘ladi. Ushbu funksiya juft ham emas, toq ham emas.

Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin.

Teskari funksiya. Murakkab funksiyalar. funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, bu funksiyaning qiymatlaridan iborat to‘plam

bo‘lsin.

Faraz qilaylik, biror qoidaga ko‘ra , to‘plamdan olingan har bir ga to‘plamdagi bitta mos qo‘yilgan bo‘lsin. Bunday moslik natijasida funksiya hosil bo‘ladi. Odatda, bu funksiya  ga nisbatan teskari funksiya deyiladi va kabi belgilanadi.

Nazorat savollari

1. 
   Funksiya va uning berilish usullari.
   
2. 
   Funksiyaning aniqlanish va o‘zgarish sohalari.
   

Foydalanilgan adabiyot:

1. 
   [1], G. Bauman. Mathematics for engineers I. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH. 2010; 84-159 betlar
   
2. 
   Yo.U. Soatov Oliy matematika 1-2 qism 1995y
   
3. 
   I.G‘.G‘aniev va boshq. Oliy matematika. Toshkent, 2013.
   
4. 
   I.G‘. G'aniev va boshq. Oliy matematikadan masalalar to’plami. 1-qism. Toshkent- 2008, 2009.
   

1^ G. Bauman. Mathematics for engineers I. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH. 2010, 84-107 betlar