9-Ma’ruza. Mavzu: Ikki karrali intеgral. Darbu yig‘indilari va ularning xossalari. Integralning ta’rifi

9-Ma’ruza.
Mavzu: Ikki karrali intеgral. Darbu yig‘indilari va ularning xossalari.
Integralning ta’rifi. Tekislikda biror chegaralangan soha (shakl) berilgan bo’lsin. Bu sohaning bo’laklashlari to’plamini  bilan belgilaymiz.
Aytaylik, sohada aniqlangan. Bu sohaning

bo’laklashini va bu bo’laklashning har bir bo’lagida ixtiyoriy nuqtani olaylik. Berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymati ni ( sohaning yuzi) ga ko’paytirib, quyidagi

yig’indini tuzamiz.
1-ta’rif. Ushbu

yig’indi, funksiyaning integral yig’indisi yoki Riman yig’indisi deb ataladi.
Masalan, funksiyaning sohadagi integral yig’indisi

bo’ladi, bunda

Yuqorida keltirilgan ta’rifdan ko’rinadiki, funksiyaning integral yig’indisi qaralayotgan funksiyaga, sohaning bo’laklash usuliga ham har bir dan olingan nuqtalarga bog’liq bo’ladi:
.
Endi sohaning shunday
(17.4)
bo’laklashlarni qaraymizki, ularning diametrlaridan tashkil topgan

ketma-ketlik nolga intilsin: . Bunday bo’laklashlarga nisbatan funksiyaning integral yig’in­di­si­ni tuzamiz:
.
Natijada sohaning (17.4) bo’­lak­lariga mos funksiya integral yig’indilari qiymatlaridan iborat quyidagi

ketma-ketlik hosil bo’ladi. Bu ketma-ketlikning har bir hadi nuqtalarga bog’liq.
2-ta’rif. Agar sohaning har qanday (17.4) bo’laklashlar ketma-ketligi olinganda ham, unga mos integral yig’indi qiymatlaridan iborat ketma-ketlik, nuqtalarni tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda hamma vaqt bitta songa intilsa, bu son yig’indining limiti deb ataladi va u

kabi belgilanadi.
Integral yig’indining limitini quyidagicha ham ta’riflash mumkin.
3-ta’rif. Agar son olinganda ham, shunday topilsaki, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’laklashi hamda har bir bo’lakdagi ixtiyoriy lar uchun

tengsizlik bajarilsa, son yig’indining limiti deb ataladi va u

kabi belgilanadi.
4-ta’rif. Agar da funksiyaning integral yig’indisi chekli limitga ega bo’lsa, funksiya sohada integrallanuvchi (Riman ma’nosida integrallanuvchi) funksiya deyiladi. Bu yig’indining chekli limiti esa funksiyaning soha bo’yicha ikki karrali integrali (Riman integrali) deyiladi va u

kabi belgilanadi. Demak,
.
Masalan, funksiyaning soha bo’yicha integral yig’indisi

bo’lib, da bo’ladi. Demak,
.
Xususan, bo’lganda

bo’ladi.
1-eslatma. Agar funksiya sohada chegaralanmagan bo’lsa, u shu sohada integrallanmaydi.