9-Ma’ruza. Mavzu: Ikki karrali intеgral. Darbu yig‘indilari va ularning xossalari. Integralning ta’rifi

Darbu yig’indilari. Ikki karrali integralning boshqacha ta’ri­fi.
1). Darbu yig’indilari. funksiya sohada berilgan bo’lib, u shu sohada chegaralangan bo’lsin. Demak, shunday o’zgarmas va sonlar mavjudki, da

bo’ladi.
sohaning biror bo’laklashni olaylik. Bu bo’laklashning har bir bo’lagida funksiya chegaralangan bo’lib, uning aniq chegaralari
,
mavjud bo’ladi. Ravshanki, uchun
(17.5)
tengsizliklar o’rinli.
5-ta’rif. Ushbu
,
yig’indilar mos ravishda Darbuning quyi hamda yuqori yig’indilari deb ataladi.
Bu ta’rifdan, Darbu yig’indilarining funksiyaga hamda sohaning bo’laklashiga bog’liq ekanligi ko’rinadi:
, .
Shuningdek, har doim

bo’ladi.
Yuqoridagi (17.5) tengsizlikdan foydalanib quyidagini topamiz:
.
Demak,
.
Shunday qilib, funksiyaning integral yig’indisi har doim uning Darbu yig’indilari orasida bo’lar ekan.
Aniq chegaraning xossasiga ko’ra
,
bo’ladi. Natijada ushbu
,

tengsizliklarga kelamiz. Demak,  uchun
(17.6)
bo’ladi. Bu esa Darbu yig’indilarining chegaralanganligini bildiradi.
Ikki karrali integralning boshqacha ta’rifi. funksiya sohada brilgan bo’lib, u shu sohada chegaralangan bo’lsin. sohaning bo’laklashlari to’plami  ning har bir  bo’laklashiga nisbatan funksiyaning Darbu yig’indilari , ni tuzib,
,
to’plamlarni qaraymiz. Bu to’plamlar (17.6) ga ko’ra chegaralangan bo’ladi.
6-ta’rif. to’plamning aniq yuqori chegarasi funksiyaning sohadagi quyi ikki karrali integrali (quyi Riman integrali) deb ataladi va u

kabi belgilanadi.
to’plamning aniq quyi chegarasi funksiyaning sohadagi yuqori ikki karrali integrali (yuqori Riman integrali) deb ataladi va u

kabi belgilanadi. Demak,
, .
7-ta’rif. Agar funksiyaning sohada quyi hamda yuqori ikki kar­ra­li integrallar bir-biriga teng bo’lsa, funksiya sohada integral­la­nuv­chi deb ataladi, ularning umumiy qiymati
.
funksiyaning sohadagi ikki karrali integrali (Riman integrali) deyiladi va u

kabi belgilanadi. Demak,
.
Agar

bo’lsa, funksiya sohada integrallanmaydi deb ataladi.