9-ma’ruza Mavzu: Streometriyaga kirish. Reja: Stereometriyaning mantiqiy tuzilishi

9-ma’ruza
Mavzu: Streometriyaga kirish.
Reja:
1. Stereometriyaning mantiqiy tuzilishi.
2. Stereometriya aksiomalari va ulardan kelib chiqadigan natijalar.
3.To‘g‘ri chiziqlar va tekisliklarning parallelligi.
4.Fazoviy shakllarning tekislikda tasvirlanishi.
5.To'g'ri chiziqlar va tekisliklarning perpendikularligi
6.Perpendikular va og‘ma.
7.Tekisliklarning perpendikularlik alomati.
Stereometriyaning mantiqiy tuzilishi.
Xuddi planimetriyadagi kabi stereometriya quyidagi mantiqiy tarzda tuzilgan.
1.Asosiy, ta’rifsiz qabul qilingan tushunchalar keltiriladi.
2. Asosiy tushunchalarning xossalarini ifodalovchi aksiomalar beriladi.
3. Boshqa geometrik tushunchalarning ta’riflari asosiy tushun­chalar yordamida beriladi.
4. Ta’riflar va aksiomalar asosida teoremalar isbotlanadi.
Stereometriyaning asosiy tushunchalari to'rtta: nuqta, to'g'ri chi­ziq, tekislik va masofa.
Tekislikni chizmada parallelogramm yoki biror tekis sirt shaklida tasvirlaymiz (1-rasm) va yunon alifbosidagi , , ... harflari bilan bclgilaymiz. Nuqtalar, to'g'ri chiziqlar xuddi planimetriyadagidek belgilanadi.
1-masala. Quyidagi tasdiqlarning qaysi biri planimetriya aksiomasi hisoblanadi?
1) berilgan nuqtadan ma’lum to'g'ri chiziqqa faqat bitta perpendikular o'tkazish mumkin;
2) A dan B gacha bo'lgan masofa В dan A gacha bo'lgan masofaga teng;
3) siniq chiziq uzunligi uning oxirlari orasidagi masofadan katta;
1-rasm
4) bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan istalgan uchta nuqtadan bitta va faqat bitta aylana о tkazish mumkin;
5) teng ko'pburchaklarning yuzlari teng.
Yechilishi. Ma’lumki, yuqoridagi tasdiqlardan faqat ikkmchi. (В) aksioma bo'lib, qolganlari isbottalab tushunchalardir.
Stereometriya aksiomalari.
Stereometriya aksiomalarida asosiy tushunchalar - nuqta, to'g'ri chiziq, tekislik va masofaning aso­siy xossalari ifodalanadi.
Dastlabki beshta aksioma tegishlilik tushunchasi bilan bog'liq.
1-aksioma. Hech bo'lmaganda bitta to'g'ri chiziq va hecli bo'lmaganda bitta tekislik mavjud. Har bir to'g'ri chiziq va har bir tekislik nuqtalarning bo'sh bo'lmagan to'plami bo'lib, bu to'plam fazoning o'zidan iborat emas.
2-aksioma. Istalgan ikkita turli nuqtadan bitta va faqat bitta to'g'ri chiziq o'tadi.
3-aksioma. Tekislikning ikkita turli nuqtasidan o'tuvchi to'g'ri chiziq shu tekislikda yotadi.
4-aksioma. Bir to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lmagan uchta nuqtadan bitta va faqat bitta tekislik o'tadi.
5-aksioma. Agar ikkita turli tekislik bitta umumiy nuqtaga ega bo'lsa, ular shu nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'yicha kesishadi.
6-aksioma. Ixtiyoriy ikkita A va В nuqta uchun A dan В gacha bo'lgan masofa deb ataluvchi nomanfiy kattalik mavjud. masofa A va В nuqtalar faqat ustma-ust tushgandagina nolga teng.
7-aksioma. A nuqtadan В nuqtagacha bo'lgan masofa В nuqtadan A nuqtagacha bo'lgan masofaga teng:

8-aksioma. Ixtiyoriy uchta А, В, С nuqta uchun A dan С gacha bo'lgan masofa A dan В gacha va В dan С gacha bo'lgan masofalar yig'indisidan katta emas:

9-aksioma. Har bir tekislik uchun planimetriyadan ma’lum tartib aksiomasi, tekislikning harakatchanligi aksiomasi va parallel to'g'ri chiziqlar aksiomasi bajariladi.
2-masala. Nima uchun uch oyoqli har qanday stol albatta turg'un, to'rt oyoqli stol esa doim bunday emasligini tushuntiring.
Yechilishi. 4-aksiomaga asosan har qanday uch oyoqli stol oyoqlarining uchlari aniqlagan tekislik doim mavjud (stol turg'un). Stolning oyoqlari to'rtta bo'lganida oyoqlarining ixtiyoriy uchtasi uchlari aniqlagan tekislikka to'rtinchisining uchi tegishli bo'lsa, stol turg'un, aks holda turg'un bo'lmaydi.