Abdullayev jonibekning matematik analiz fanidan yozgan

,

0

2

1







n

a

a

a

  deb hisoblaymiz.  Ushbu  

n

a

a

a

a

x

n

a

a

a

a

x

n

a

a

a

a

x

n

n

n

n

n

....

.....,

,

...

,

....

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1





















    

belgilashlardan  so’ng  quyidagi  tasdiqni isbotlash yetarli bo’ladi: 

n

x

x

x

n









....

2

1

   shartni  qanoatlantiruvchi 

0

.....,

0

,

0

2

1









n

x

x

x

    sonlar 

uchun               

)

10

(

1

....

2

1









n

x

x

x

 

 bo’ladi  va   tenglik  faqat    

1

....,

,

1

,

1

2

1







n

x

x

x

  bo’lganda  bajariladi. 

 Bu  fikrni matematik  induksiya usulida  isbotlaymiz: 

2



n

    bo’lganda   bajarilishini   avvalroq ko’rsatgan  edik .  

k

n



      da    to’gri    deb  olib,   

1





k

n

      bo’lganda    ham    to’g’ri    bo’lishini  

ko’rsatamiz. 

           

 

 Ushbu  

                   

)

11

(

1

....

1

2

1













k

x

x

x

k

 

 tenglikning    chap    tomonidagi      qo’shiluvchilari    orasida    shunday    ikkitasi 

topiladiki,  birinchisi 1 dan  kichik  bo’lmaydi va  ikkinchisi  1               dan   kichik 

bo’lmaydi. Agar  fikr bajarilmasa,   (11)  tengli  ham  bajarilmasligi ma’lum. Qulayligi  

uchun              

1

,

1

2

1





x

x

       deb  olamiz. U  holda   

                               

)

12

(

1

0

1

,

0

)

1

)(

1

(

2

1

2

1

1

2

1

2

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





















 

 

 

                           

bo’ladi. Ushbu   

                         

1

4

3

2

1

,

,......,

,

,

1







k

k

x

x

x

x

x

x

    

 

k

 ta  son  yig’indisi    

k

    ga  teng  bo’lgani uchun  induksiya  faraziga  ko’ra    

           

)

13

(

1

.....

)

1

(

1

4

3

2

1



















k

k

x

x

x

x

x

x

 

 tengsizlik    o’rinli    bo’ladi.  (12)    va  (13)        tengsizliklardan    quyidagi    baholash  

kelib  chiqadi: 

 

.

1

....

)

1

(

....

)

(

1

4

3

2

1

1

3

2

1





























k

k

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 Keltirilgan  tasdiqning  birinchi  qismi  isbotlandi. 

Agar   (10)   tengsizlikda   tenglik   bajarilib,      

n

x

x

x

,...,

,

2

1

     sonlar orasida   birdan  

farqlisi  bo’lsa, bu sonlar  yig’indisi  

n

   bo’lgani  uchun   shunday  ikkitasi  tpiladiki ( 

aytaylik 

2

1

x

va

x

 ), 

1

,

1

2

1





x

x

  bo’ladi. 

Bundan     

,

1

)

1

(

2

1







x

x

 

1

....

)

1

(

....

)

(

1

3

2

1

3

2

1























n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

   

 ziddyat  kelib  chiqadi. 

Demak  farazimiz  to’gri ekan.  Bu  farazimizdan  

           

                          

n

a

a

a

a

a

a

n

n

n













....

....

2

1

2

1

   

tengsizlik  kelib chaqadi.  

 

KOSHI TENGSIZLIGI  ISBOTINING UCHUNCHI USULI. 

 

Avval 

0



x

    bo’lganda  ushbu  

 

 

                                                     

)

14

(

1

nx

n

x

n







   

tengsizlik    bajarilishini    isbot  qilamiz.  Bu    yerda  tenglik  faqat   

1



x

      bo’lganda 

bajariladi. Buning uchun (14) tengsizlikni  

                                           

0

)

1

(

1









x

n

x

n

       

ko’rinishida  yozib olib, chap tomonini  ko’paytuvchilarga ajratamiz: 

,

0

]

1

)

1

(

...

)

1

....

(

)

1

...

[(

)

1

(

)]

1

....(

)

1

(

)

1

)[(

1

(

)

1

(

)

1

....

)(

1

(

)

1

(

1

4

3

3

2

2

2

1

2

1



















































































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n

x

x

x

x

x

n

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

chunki    

0



x

. Bu tengsizlikda tenglik bajarilishi uchun   

1



x

    

bo’lishi kerak. 

(14) tengsizlikda 

n

b

a

x

1

)

(



   ,

)

0

,

0

(





b

a

  desak, 

                                               

n

b

a

n

n

b

a

1

)

(

1







  ,     

 

                                  

n

n

n

b

na

b

n

a

1

1

)

1

(









  , 

                              

)

15

(

1

1

1

1

n

n

n

b

a

b

n

n

a

n









    

kelib  chiqadi.  (15)  tengsizlik 

0



b

      bo’lganda  xam  bajariladi.  (15)  tengsizlikda 

tenglik faqat 

b

a



   bo’lganda bajariladi. 

Endi  esa  Koshi  tengsizligini  matematik  induksiya  usulida  isbotlashga  o’tamiz. 

2



n

   da bajarilishi ma’lum. 

k

n



   da to’g’ri deb olib, 

1





k

n

  bo’lganda xam to’g’riligini ko’rsatamiz. 

(15) tengsizlik va induksiya faraziga asosan  





1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

...

...

...

...

1

1

1

1

....



















































































k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

a

a

a

a

a

a

a

k

a

a

a

a

k

a

a

a

k

k

a

k

k

a

a

a

                                        

 bo’lishi  kelib chiqadi. 

 Koshi    tengsizligida    tenglik  bajarilib,       

n

a

a

a

,....,

,

2

1

      sonlar  orasida    bir-biriga  

teng  bo’lmaganlari  bor  deb  faraz    qilaylik.  U  holda     

n

a

a

a

,....,

,

2

1

  sonlardan  kamida 

bittasi qolganlarining     o’rta  arifmatigiga teng bo’lmaydi. Qulayligi uchun  

 

 

                                         

1

...

1

2

1













n

a

a

a

a

n

n

 

deb hisoblaymiz. U holda (15) tengsizlikka asosan  





n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

n

a

a

a

a

n

a

a

a

n

n

a

n

n

a

a

a











































































...

...

1

...

1

...

1

1

.

..

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

2

1

  

 ziddiyat kelib chiqadi. Isbot tugadi. 

Izoh:

 (14) tengsizlikda 

)

1

(

,

1













x

 desak, 

                       





n

n







1

)

1

(

    tengsizlik hosil bo’ladi. 

 

 

Bu tengsizlikda tenglik faqat 

0





 bo’lganda bajariladi 

)

2

(



n

. 

Ohirgi  tengsizlikka  Bernulli  tengsizligi  deyiladi.(Yokob  Bernulli  (1654-1705) 

Shvetsiariyalik olim). 

 

KOSHI TENGSIZLIGI ISBOTINING TO’RTINCHI USULI. 

 

Matematik induksiya usulida isbotlaymiz. 

2



n

 da to’g’riligi ma’lum. 

k

n



 da to’g’ri deb olib,

1





k

n

 bo’lganda ham to’g’ri 

bo’lishini ko’rsatamiz. Qulayligi uchun 

                                           

k

k

k

k

a

a

a

a

a

a













1

2

1

1

1

....,

,

,

   

deb hisoblaymiz. Ushbu  

                                          

k

a

a

a

A

k

k









....

2

1

 

belgilashni kiritib olamiz. U holda  

,

1

1

)

(

)

1

(

1

1

1

1

1

































k

A

a

A

k

A

a

A

k

k

a

kA

A

k

k

k

k

k

k

k

k

k

 

                                                    

k

k

k

k

k

A

k

A

a

A

A

)

1

(

1

1

1













 

bo’ladi. Bernulli tengsizligidan  

 

 

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

A

a

A

k

A

a

k

A

k

A

a

A

A

1

1

1

1

1

1

)

1

(

)

1

(

1

)

1

(

1



























































   

kelib chiqadi. Oxirgi  tengsizlikni ushbu  

                                





 

k

k

k

k

k

A

a

A

1

1

1









 

tarzda yozish mumkin. Induksiya faraziga ko’ra  

                                    

k

k

k

a

a

a

A









...

)

(

2

1

  

bo’ladi. 

Demak   

                    

1

2

1

1

1

.....

)

(









k

k

k

k

a

a

a

a

A

 

o'rinli ekan. Bundan esa   

                      

n

a

a

a

a

a

a

n

n

n













....

....

2

1

2

1

 

tengsizlik o'rinli ekani kelib chiqadi. 

Isbot tugadi. 

KOSHI TENGSIZLIGI  ISBOTINING  BESHINCHI USULI 

Quyidagi  belgilashlarni kiritamiz: 

 

,

...

2

1

n

a

a

a

A

n

n









            

n

n

n