Abduvaliyeva gulnozaning

Chebishev ko‘phadining xossalari.
1- xossa. Jufl (toq) n uchun T_n(x) da x ning faqat juft (toq) darajalari qatnashadi. Bu (2)-(4) formulalardan osongina chiqariladi.
2- xossa. T_n(x) ning bosh koeffitsiyenti n > 1 da 2^n-1 ga teng. Bu ham (2)-(4) formulalardan chiqariladi.
3- xossa. T_n(x) (-1,1) intervalda turli n ta haqiqiy ildizlarga ega, ular quyidagilar:
i=0,1,...,n-1.

Haqiqatdan,

T_n(x_i) =cos(narccosx_i)=cos =0, i = 0,l,...,n-l.


4-xossa. bo`lib,


(5)

bu yerda m = 0,l,...,n.

Haqiqatdan, (l) ga ko‘ra



Demak 4-xossa o ‘rinli.
5-xossa.


, n 1 (6)

ko‘phad, bosh koeffitsiyenti birga teng bo`lgan n-darajali ko‘phadlar ichida [-1,1] da modulining maksimumi eng kichik bo`lgan yagona ko‘phaddir.

Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni, ko`phad mavjud bo`lib, u


(7)
tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda (6) ga asosan, ning bosh koeffitsiyenti birga teng bo`lib, darajasi n - 1 ga teng ko‘phaddir. (7) ga asosan, . Bundan tashqari, (5)-(7) formulalarga asosan, n +1 ta m = 0 ,1,...,n. nuqtalarda noldan farqli va almashuvchi ishorali qiymatlar qabul qiladi. Bu esa, o ‘z navbatida, darajasi n dan kichik ko'phad kami deganda n ta nuqtada nolga teng bo`lishligini anglatadi. Bu ziddiyat 5-xossani isbot etadi.
5-xossaga asosan Chebishevning ko‘phadlari noldan eng kam og‘uvchi ko‘phad deyiladi.
[-1,1] oraliqda interpolyatsiyalashning tugun nuqtalar sifatida T_n+t(x) ko‘phadning ildizlari


i=0,1,...,n (8)

larni olaylik. Unda interpolyatsiyalash qoldiq hadida ishtirok etuvchi bosh koeffitsiyenti birga teng bo`lgan n + l-darajali ko‘phad quyidagicha bo`ladi:

.

U holda 4-xossaga asosan interpolyatsiyalashning qoldiq had bahosi

(9)

ko'rinishga ega bo`ladi, bu yerda

5-xossaga asosan, (9) bahoni bundan yaxshilab bo‘lmaydi. Interpolyatsiyalashning tugun nuqtalari (8) ko‘rinishda bo‘lganda (9) ni o‘ng tomonini kichraytirish mumkin bo‘lmagani uchun (8) nuqtalar [-1,1] oraliq uchun optimal tugun nuqtalar bo‘ladi. Agar ixtiyoriy [a,b] oraliq uchun interpolyatsiyalash ko‘rilganda

almashtirish yordamida [a,b] oraliq [-1,1] ga o‘tadi, bu holda T_n+1(t) ning ildizlari

i=0,1,...n

ko‘rinishda bo‘ladi. Demak

ga teng, interpolyatsiyalashning xatoligi bahosi esa quyidagicha bo`ladi:

Faraz qilaylik, f(x) funksiya p(x) 0 vazn bilan oraliqda kvadrati bilan integrallanuvchi bo`lsin, ya’ni

mavjud bo`lsin. Bunday funksiyalarni fazoga tegishli deyiladi. Bu funksiyani

(1)

umumlashgan ko‘phad bilan o‘rta kvadratik ma’noda yaqinlashtirish masalasini qaraylik, ya'ni a₀,a_1, ...,a_n koeffitsiyentlarni shunday topaylikki,

(2)

ifoda eng kichik qiymat qabul qilsin.

Bu yerda da yetarlicha silliq va hisoblash uchun qulay bo‘lgan chiziqli bog‘liqsiz funksiyalar sistemasidir. funksiyalar sistemasi da Chebishev sistemasini tashkil etadi, deb hisoblaymiz. funksiya a₀,a₁,...,a_n larga nisbatan kvadratik ko‘phad va > 0 bo'lgani uchun uning minimumi mavjud, bu minimumni topish uchun


k = 0,l,...,n

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish kerak bo'ladi. Bu tenglamalar sistemasi quyidagi ko'rinishga egadir:

A
gar fazodan olingan ixtiyoriy ikki (x) va 𝜓(x) fiinksiya skalyar ko‘paytmasini ( ) orqali belgilasak:

u holda (3) ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

Bu sistema yagona yechimga egadir, chunki uning determinanti Gram determinantidir. Chiziqli bog‘liqsiz funksiyalar sistemasidan tuzilgan

determinant Gram determinanti deyiladi va uni noldan farqliligini ko'rsatamiz. Faraz qilaylik, aksincha, ya’ni T_n= 0 bo‘lsin. U holda (5) sistemaga mos keladigan bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

kamida bitta trivial bo‘lmagan yechimga ega bo‘lishi kerak, ya’ni shunday a₀,a₁,...,a_n sonlar topilishi kerakki, ularning kamida bittasi noldan farqli bo‘lib, (5) sistemani qanoatlantirsin. (6) sistemaning tenglamalarini mos

r avishda a₀,a₁,...,a_n larga ko‘paytirib yig'amiz va (4) ni e'tiborga olsak, quyidagi hosil bo‘ladi:

Bunday bo`lishi mumkin emas, chunki chiziqli bog‘liqsiz funksiyalar sistemasi bo‘lib, a₀,a₁,...,a_n larning kamida bittasi noldan farqliligi sababli

ko‘phad aynan nolga teng emas. Demak, Gram determinanti noldan farqli va (5) sistema yagona yechimga ega.

Agar oraliqda p(x) 0 vazn funksiya bilan funksiyalar sistemasi ortogonal ko‘phadlar sistemasini, ya'ni

t
ashkil etsa, u holda (5) tenglamalar sistemasining har bir tenglamasi bitta noma’lumga bog‘liq bo‘lib, a_k koeffitsiyentlar quyidagicha aniqlanadi:

A
gar da p(x) 0 vazn funksiya bilan ortonormal ko‘phadlar sistemasini tashkil etsa, u holda a_k koeffitsiyentlar quyidagicha aniqlanadi:

Bu holda eng kichik og‘ish

y
a`ni

bilan xarakterlanadi.

Quyida hisoblash matematikasida ko‘p qo‘llaniladigan ortogonal ko‘phadlar sistemalarini keltiramiz [11].

Yakobi ko‘phadlari. Quyidagi

ko‘phadlar Yakobi ko‘phadlari deyiladi. Ular [-1,1] oraliqda

p(x)= ,

vazn funksiya bilan ortogonal ko‘phadlar sistemasini tashkil etadi. Ularning normalari:

U
lar uchun quyidagi rekurrent formula o‘rinli: