Abduvaliyeva gulnozaning

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI ZAHIRIDDIN MUHAMMAD BOBUR NOMLI ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI
Fizika-Matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi 408-guruh talabasi ABDUVALIYEVA GULNOZANING
“ HISOBLASH USULLARI “ fanidan tayyorlagan


KURS ISHI
Mavzu: “Ortogonal ko`phadlar. Yakobi, Lejandr va Chebishev ko`phadlari”
Kurs ishi rahbari: Yusupov Ikromjon

Andijon 2022-2023

REJA

1. 
   Chebishev ko`phadining xossalari
   
2. 
   Oraliqda algebraik ko‘phadIar orqali o‘rta kvadratik yaqinlashish
   
3. 
   Yakobi ko‘phadlari.
   
4. 
   Lejandr ko‘phadlari.
   
5. 
   Chebishevning birinchi va ikkinchi tur ko‘phadlari
   
6. 
   Maple 7 tizimida Chebishev ko‘phadlari.
   

KIRISH

Haqiqatda mavjud obyektlarning asosiy xossalarini ularning matematik

modellari yordamida o‘rganishning klassik vositasi bu analitik usullar bo‘lib, ularaniq yechimni matematik formulalarda ifodalash imkonini beradi. Bu usullar hozirgi kunda ham masalani yechish haqida yetarlicha aniqlikdagi to‘la axborotni bermoqda va ular o‘z amaliy ahamiyatini yo‘qotgani yo‘q. Ammo, afsuski, ularning qo‘llanilish sohasi juda cheklangan. Shuning uchun, odatda, sonli usullarga yoki hisoblash usullariga murojaat qilinadi.
Hisoblash usullari – bu matematik modelga mos algoritmlarni qo‘llashga asoslangan amaliy matematika masalalarini taqribiy yechish usullari. Hisoblash usullari analitik usullardan farqli ravishda umumiy yechimni emas, balki xususiy yechimni beradi. Bunda sonli va mantiqiy massivlar ustida yetarli sondagi arifmetik va mantiqiy amallar bajarilishi talab qilinadi. Hisoblash usullari fanining sonli tahlil qismi ikki turdagi sonli usullarga bo‘linadi: 1) to‘g‘ri usullar (ma’lum bir sondagi amallar bilan yechimni topishga asoslangan usullar); 2) iteratsion usullar (qaytariluvchi (siklik) jarayonlardan foydalanishga asoslangan va ketma-ket yaqinlashuvchi
natijalarni olish imkonini beruvchi usullar). Hisoblash usullariga ehtimoliy usullar (yechimni tasodifiy izlash) ham kiradi, kurs ishimizda ko`phadlarning turlari Chebishev, Yakobi, Lejandr va Ortogonal ko`phadlar haqida bilimimizni yanada boyitamiz.

Faraz qilaylik, f(x) C_n+1 bo‘lsin. da interpolyatsiyalash tugun nuqtalari x₀, x₁,...x_n lar qanday tanlansa, f(x) funksiyani interpolyatsiyalashdagi maksimal xatolik eng kichik qiymatga ega bo‘ladi, degan savol chiqishi tabiiydir. Bu masala ancha murakkabdir va uni faqat xususiy holdagi f(x) lar uchungina yechish mumkin. Biz ancha sodda masalani yechishni ko‘ramiz, ya’ni x₁, i=0,1,...,n tugun nuqtalar da qanday joylashganda miqdor eng kichik bo‘ladi, degan savolga javob beramiz. Agar | eng kichik qiymatga erishsa, interpolyatsiya xatoligi ham minimal qiymatga ega bo‘ladi.

Soddalik uchun oraliq [-1,1] bo‘lsin. Bizga Chebishev ko‘phadlari kerak bo‘ladi. Bu ko‘phadlar [-1,1] oraliqda

T_n(x) = cos(n arccosx), n = 0,1,... (1)

formula bilan aniqlanadi. Xususan, n = 0, 1 da

T₀(x)=cos(0arccosx)=1, (2)

T₁(x)=cos(larccosx)=x (3)

ga ega bo‘lamiz. Chebishev ko‘phadlari uchun

T_n+l(x)=2xT_n(x)-T_n-l(x) (4)

rekurrent munosabat o‘rinli, bu quyidagi

cos(n + l) =2cos cosn - cos(n - l)

ayniyatdan = arccosx desak kelib chiqadi.