Abs tenglamalari. Laplas o‘zgartirishi. Uzatish funksiyasi Reja

ABS tenglamalari. Laplas o‘zgartirishi. Uzatish funksiyasi
Reja:

1. 
   Ochiq va yopiq holdagi ABS differensial tenglamasi tuzish misollari.
   
2. 
   Laplas o‘zgartirishining xossalari.
   
3. 
   Uzatish funksiyasi va uni taqdim etish usullari.
   

Tayanch so‘z va iboralar: Ochiq va yopiq holdagi ABS differensial tenglamasi, Laplas o‘zgartirishi, uzatish funksiyasi.


ABS tenglamasi (misol)
Misol tariqasida UTM tezligini stabil ushlab turish sistemasi differensial tenglamasini tuzamiz. Sistemaning asosiy elementlari UTM, UTG va generatorning qo‘zg‘atish zanjiridagi tiristorli o‘zgartgich (boshqariladigan to‘g‘rilagich).
Bu sxema quyidagi oldin ma’lum bo‘lgan tenglamalarni yozish mumkin:

Ochiq sistema uchun:

YOpiq sistema uchun:

2.5–rasm. O‘TM tezligini stabil ushlab turishga mo‘ljallangan avtomatik boshqarish sistemasi

Bitta tenglamani ikkinchisiga qo‘yib ochiq sistema uchun o‘zgartirish kiritgandan so‘ng quyidagini olamiz:

YUqoridagi hadlarni qo‘ygandan keyin ochiq sistemaning differensial tenglamasini olamiz:

YOpiq sistemaning differensial tenglamasi shunga o‘xshash topiladi:

Bu tenglamalardan sistemaning barqarorlashgan rejimi tenglamasini topish mumkin. agar quyidagilarni qabul qilsak

Bu holda quyidagiga ega bo‘lamiz:
- ochiq sistemaniig statik xarakteristikasi;
- yopiq sistemaningn statik xarakteristikasi.
YUqoridagidan ko‘rinadiki, yopiq simtemadagi statik xato ochiq sistemadagiga qaraganda 1+k marta kichikdir.
Laplas o‘zgartirishi.
Laplas o‘zgartirishi yordamida nafaqat chiziqli differensial tenglamalarni echish (operativ metodi), balki chiziqli ABS larini analiz qilish uchun matematik apparatni ham olish mumkin.
Laplasning to‘g‘ri o‘zgartirishi:
Teskari o‘zgartirish:
Bu erda x(t) – funksiya originali;
x(p) – funksiyaning kompleks o‘zgartiruvchilar P=₀ + j sohasidagi ko‘rinishiga.
₀=0 bo‘lgan holda (barcha barqaror ABS lar) Laplas o‘zgartirishini Fure o‘zgartirishining xususiy holi deb qarash mumkin:
- to‘g‘ri o‘zgartirilgan va garmonik sostavni aniqlovchi chastota funksiyasi;
- teskari o‘zgartirish.
Laplas o‘zgartirishi xususiyatlarini aniqlovchi asosiy teoremalar:
1) chiziqlilik teoremasi:

bu erda mutanosiblik belgisi;

2. 
   Xaqikiy sonlar sohasida differensiallash original sohasida:
   

3. 
   Xaqiqiy sonlar sohasida integrallash:
   

4. 
   o‘xshashlik teoremasi:
   

5. 
   Xaqiqiy sonlar sohasida siljish:
   

x(t-a), x(t-a)=0 bo‘lgan holda 0x(t+a), x(t+a)=0 bo‘lgan holda -abu erda a – manfiy bo‘lmagan xaqiqiy son

6. 
   Kompleks sonlar sohasida siljish:
   

bu erda a – xaqiqiy qismi manfiy bo‘lmagan kompleks son;

7. 
   Integral to‘plam haqidagi teorema (ifodalar ko‘paytmasi):
   

.


Uzatish funksiyasi
Laplas o‘zgartirishlaridan foydalanib yuqorida olingan ABS (O‘TM tezligini stabilizatsiya qilish sistemasi) differensial tenglamasini operator formasida dastlabki boshlang‘ich qiymatlarni hisobga olgan holda quyidagicha yozish mumkin:

Bu erda:

Odatda ikkala ta’sirdan birontasi yo berilgan ta’sir yoki toydiruvchi ta’sir ostida protsess ko‘rib chiqiladi.
SHuning uchun umumiy holda tenglama quyidagicha yoziladi:

Ko‘pxadlarni quyidagicha belgilab olamiz:

U holda nisbat uzatish funksiyasini beradi, ya’ni uzatish funksiyasi chiqish kattaligi Laplas ko‘rinishining kirish kattaligi Laplas ko‘rinishiga nisbatidan iborat bo‘lib, bu holda sistema boshlang‘ich nol qiymatlari hisobga olinadi.
Agar D(p)=0 va K(p)=0 hollariga mos ravishda uzatish funksiyasining qutblari P_i va nollari q_i ma’lum bo‘lsa, u holda
yoki ratsional kasrni elementar kasrlarga ajratish qoidasini qo‘llanilsa:

Nazorat savollari:

1. 
   Ochiq va yopiq ABS tenglamalari o‘zaro qanday farq qiladi?
   
2. 
   Laplas o‘zgartirishining qanday xossalarini bilasiz ?
   
3. 
   Uzatish funksiyasi nima?
   
4. 
   Uzatish funksiyasi qanday shakllarda ko‘rsatiladi ?