Akademik litseylarda matematik induksiya metodini o’qitish metodikasi. Ayniyatlarni isbotlash va yig’indi hamda ko’paytmalarni hisoblashda matematik induksiya metodi

1-aksioma. Hech qanday sondan keyin kelmaydigan 1 raqami mavjud.

2-aksioma. Har qanday son uchun undan keyin keladigan bitta va faqat bittagina son mavjud, ya’ni ekanligidan dan ekani kelib chiqadi.

4-aksioma. Natural sonlarningM to’plami quyidagi xossalarga ega bo’lsin:

1. 
   bir soni M ga tegishli;
   
2. 
   agar n soni M ga tegishli bo’lsa u holda ham M ga tegishli bo’ladi. Y holda M to’plamda hamma natural sonlar bo’ladi, ya’ni barcha natural sonlar to’plami M bilan ustma-ust tushadi.
   

To’rtinchi aksioma matematik induksiya aksiomasi deyiladi, matematik induk- siya metodi shu aksiomaga asoslangandir. Haqiqatdan ham A(1) tasdiq rost bo’lsin, A(k) ning rostligidan A(k+1) tasdiqning rostligi kelib chiqsin. A(n) tas-diq o’rinli bo’lgan natural sonlar to’plamini M deylik. Farazga ko’ra 1€M (tasdiq n=1 da o’rinli), k€M dan k€M kelib chiqadi. U holda 4-aksiomaga asosan M toplam barcha n natural sonlar uchun o’rinlidir.

Natural sonlar arifmetikasida matematik induksiya metodi asosiy metoddir.

Arifmetikani aksiomatik kursida natural sonlar ustida bajaralidigan barcha amallar shu metod yordamida aniqlanadi. Natural sonlarni qo’shish va ayirish amallari va bu amallar xossalarining isboti, katta va kichik munosabatlari va ular xossalarining isboti matematik induksiya metodi orqali beriladi.

2-misol. ifoda qanday songa karrali ekanini aniqlash vazifa qilib berilgan bo’lsin.

Yechilishi. ga ketma – ket qiymatlar berib ifodaning qiymatla-rini tekshiraylik va biror qonuniyatni aniqlashga harakat qilaylik:

bo’lsa, ga karrali son hosil bo’ladi.

bo’lsa, yani 3ga karrali son hosil bo’ladi.

bo’sa, bu son ham 3 ga bo’linadi.

bo’lsa, yani 3 ga karrali son hosil bo’ladi.

Demak, bo’lganda yig’indi 3 ga bo’linar ekan.

Ushbu gipoteza o’rinli emasmikan?

yig’indi ixtiyoriynatural sonda 3 karrali.

Endi bu gipotezaning rost yoki yolg’onligini aniqlaylik. Tekshirishni matematik induksiya metodi yordamida o’tkazamiz.

1. 
   daga karrali.
   
2. 
   da ga karrali bo’lsin,bunda foydalanib
   

da ifodaning 3 ga bo’linishini ko’rsatamiz.

Haqiqatdan ham,

Ifoda 3 ga bo’linadi, chunki 3 ga karrali (farazga asosan), ikkinchi qo’shiluvchining 3 ga karrali ekani ko’rinib turibdi.

Demak, ixtiyoriy n natural son uchun ifoda 3 ga karrali ekan.