Akademik litseylarda matematik induksiya metodini o’qitish metodikasi. Ayniyatlarni isbotlash va yig’indi hamda ko’paytmalarni hisoblashda matematik induksiya metodi

1.2.Matematik induksiya metodi haqida ma’lumotlar.

Induktiv usul mаtemаtikаdа qаdim zаmonlаrdаn qo‘llаnilаdi. Аk-sаr hollаrdа nаtijа xаto bo‘lib chiqаdi. XVII аsrning o‘rtаlаrigа kelib, bundаy noto‘g‘ri mulohаzаlаr ko‘plаb yig‘ilib qolаdi. Ilmiy аsoslаngаn usullаrni qo‘llаsh tаlаbi borgаn sаri oshib borаr edi. Bundаy usul ishlаb chiqildi (Pаskаl 1623-1662, Dekаrt, Yakov Bernulli 1654-1705) Bu usul mаtemаtik induksiya usuli deyilаdi.

Yuqoridagi misollarni tahlil qilish natijasida ushbu savol tug’uladi. Bir qan- cha xususiy hollarda to’g’ri bo’lgan biror tasdiq berilgan bo’lsin. Bu tasdiq- ning to’g’riligini ko’rsatuvchi barcha cheksiz ko’p xususiy hollarni ko’rib chiqish inson qo’lidan kelmaydi (barcha natural sonlar uchun chiqarilgan tasdiqlar shular jumlasidandir). Xususiy arame cheksiz ko’p bo’lgani uchun to’la induksiyani qo’llash imkoniyatiga ega emasmiz, xususiy hollarga asosla- nib chiqarilgan tasdiq esa xato bo’lishi mumkin. Bu savolga, ba’zi hollarda, matematik induksiya metodi deb ataluvchi alohida mulohaza yordamida ja- vob beriladi.

Induksiya yordamida biror A(n) gigoteza bayon etilgan bo’lib, bu muloha- zaning ixtiyoriy n natural son uchun rostligini isbotlash kerak bo’lsin hamda

A(n) mulohazaning to’g’riligini barcha n lar uchun bevosita tekshirib ko’- rishning iloji bo’lmasin.

A(n) mulohaza, matematik intuksiya prinsipiga asosan quyidagicha isbotlanadi

Bu tasdiqning to’g’riligi, asosan, n=1 uchun tekshiriladi. So’ngra aytilgan tasdiqni n=k uchun rost bo’lsin deb faraz qilib, uning rostligi n=k+1 uchun isbotlanadi. Shundan so’ng A(n) tasdiq barcha n (n€N) lar uchun isbotlangan hisoblanadi.

Bularga asosan, agar A(n) tasdiq n=1da rost bo’lsa, u navbatdagi n=1+1=2

son uchun ham rost bo’ladi. Tasdiqning n=2 uchun rostligidan uning n=2+1=3 uchun rostligi kelib chiqadi. Bundan esa tasdiqning, o’z navbati- tural songacha yetib boramiz. Demak, A(n) tasdiq ixtiyoriy n uchun o’rinli- dir.

Aytilganlarni umumlashtirib, ushbu umumiy prinspni ifodalaylik:

1. 
   n=1 da A(n) mulohaza rostligi tekshiriladi;
   
2. 
   n=k daA(n) mulohaza rost bo’lsin deb faraz. N=n+1 uchun A(n)
   

mulohazaning rostligi, ya’ni A(k) A(k+1) isbotlanadi. Shundan so’ng,

A(n) mulohoza barcha n lar uchun rost deb xulosa qilinadi.

Matematik indukssiya pirinspiga asoslangan isbotlar isbotlashning matematik induksiya metodi deyiladi. Matematik induksiya metodiga asoslanib biror tasdiqni isbotlashda yuqorida ko’rsatilgan 1 va 2 punktlarning har birini tek-shirish juda muhimdir. Agar ulardan birortasini hisobga olmasak, chiqarilgan xulosa to’g’ri bo’lmay qolishi mumkin. Masalan, yuqorida ko’rsatib o’yilgan 6-9 misollarda induksiya pirnsipining faqat 1 qismiga asoslanib xulosalar noto’g’ri ekani aniqlandi. Xuddi shuningdek, 1 punktni isbotlamasdan, faqat 2 punktga asoslanib xulosa chiqarsak, chiqarilgan xulosa xato bo’lishi mumkin.

1. 
   Misol. Har qanday natural son o’zidan keyin keluvchi natural songa teng.
   

Isbot.

(1)

bo’lsin deb faraz qilaylik. U holda

(2)

hosil bo’ladi. Haqiqatdan ham, (1) ning ikkala tomoniga 1 ni qo’shsak, (2) kelib chiqadi. Bundan, agar tasdiq n=k uchun rost bo’lsa, u holda n=k+1

uchun ham rost ekani kelib chiqadi.

Natija. Barcha natural sonlar o’zaro teng. Natijaning xatoligi o’z-o’zidan ravshan. Bu xato qayerdan kelib chiqdi.

Xato shundan iboratki, matematik induksiya prinsipini qo’llash uchun zarur bo’lgan 1 punkt isbotlanmadi, faqat 2 punkt isbotlandi, xolos.

1 punkt induksiyaning asosi deyiladi. 2 punktda esa induksiya asosi istalgan n natural son uchun kengaytiriladi.

Agar 1 punkt tekshirilmay, faqat 2 punktning o’zi isbotlansa, u holda induksiya bajarish uchun asos yaratilmaydi, shu sababli isbotlangan narsa-ning ma’nosi bo’lmaydi, chunki kengaytirilishi kerak bo’lgan bazaning o’zi yo’q.

Agar 2 punkt isbotlanmay faqat 1 punktning o’zigina isbotlansa u holda induksiya bajarish uchun baza yaratilgan bo’lsada, bu bazani istalgan n son uchun kengaytirish qoidasi yo’q. Matematik induksiya metodi bilan isbotlash jarayonida quyidagi holler bo’lishi mumkin.

Induktiv fikr yuritib kuzatishlarga asoslangan holdabayon etilgan A(n) mu-lohaza rost bo’lsa, matematik induksiya metodi yordamida uni isbotlash mumkin. Agar induksiya yordamida bayon etilgan A(n) mulohaza hoto’g’ri bo’lsa uning xatoligini 2 punktni isbotlash jarayonida osongina aniqlash mumkin.

Matematik induksiya metodini misollarda tushuntiramiz.

Berilgan. Kitob javonida kitoblar quidagicha joylashtirilgan: 1) eng

chekka qismida joylashgan kitob qizil muqovada. 2) Qizil muqovali kitobning o’ng

tomonida qizil muqovali kitob joylashgan.

Xulosa. Kitob javonida joylashgan barcha kitoblar qizil muqovada.

“Javonda barcha kitoblar qizil muqovada” xulosasi haqiqatdan ham to’g’ri

hosoblanadi. Lekin, agar eng chekkadagi kitob qizil muqovaliligi ma’lum bo’lsa,

“javondagi barcha kitoblar qizil muqovali “ degan xulosa chiqarish uchun etarli

darajada emas.

Qizil muqovali kitobning o’ng tomonida joylashgan kitob qizil muqovali

degan xulosa chiqarishga etarli emas (Chap tomondagi birinchi kitob yashil

muqovada ham bo’lishi mumkin).

Shuning uchun ,xulosa to’g’ri bo’lishi uchun ikkala shart ham bajarilishi

lozim. Matematika ensiklopediyasida quyidagi tushunchalar berilgan.

Matematik induksiya – matematik induksiya prinsipiga asoslangan

matematik tasdiqni isbotlovchi metod:

Agar A(1) isbotlangan bo’lsa, x natural parametrga bo’g’liq A(x) tasdiq

isbotlangan deb hisoblanadi va ixtiyoriy n natural son uchun A (n) to’g’ri deb faraz

qilinsa, n+1 uchun A (n+1) to’g’ri hisoblanadi.

A (1) tasdiqning isbotlanishi induksiyaning birinchi qadami hisoblanadi,

A(n) uchun farazdan A (n+1) ning isbotlanishi induksiyali o’tish deyiladi. Bunda

induksiyaarametric deyiladi, A(n+1) ni isbotlashda A(n) ni faraz qilish induktivli

faraz deyiladi.

Matematik induksiya metodining mohiyati quyidagicha:

Agar tasdiqlash ketma-ketligi mavjud bo’lsa, birinchi tasdiq to’g’ri va har

bir to’g’ri tasdidan so’ng to’g’ri tasdiq mavjud bo’lsa, ketma-ketlikdagi barcha

tasdiq to’g’ri hisoblanadi.

Shunday qilib, matematik induksiya metodi yordamida isbotlash ikkita

teoremadan iborat.

Shunday qilib, matematik induksiya metodi yordamida isbotlash ikkita

teoremadan iborat.

1-teorema .n = 1 uchun tasdiq to’g’ri.

2-teorema. Ixtiyoriy n=k uchun tasdiq to’g’ri deb faraz qilinsa, u holda,

navbatdagin=k+1 natural son uchun tasdiq to’g’ri deb hisoblanadi.

Agar ikkala ushbu teoremalar isbotlangan bo’lsa, matematik induksiya

tamoyiliga asoslangan holda, tasdiq ixtiyoriy n natural son uchun to’g’ri deb

xulosa qilinadi.

Eslatma. Barcha natural sonlar uchun emas, balki n dan katta yoki teng m

natural sonlar uchun induksiya bo’yicha tasdiqni isbotlash zarur bo’ladi. Bunday

holda isbotlash quyidagicha bajariladi.

1-teorema. N = m da tasdiq to’g’ri.

2-teorema. N=k da tasdiq to’g’ri berilgan, k ≥m. n = k +1 da tasdiq o’rinli

ekanligini isbotlash lozim.

Demak matematik induksuya prinspini matematikaning turli bo’limlarida qo’llashimiz mumkin ekan. Matematik induksiya metodi akademik litsey va kasb hunar kollejlarida o’tiladi. Bu metodni o’quvchilarga tushuntirish uchun eng avvalo induksiya o’zi nima ekanligini o’rgatish lozim.

Matematik induksiya metodining asosiy prinsplarini bayon etishga, uni turli sohalarga tadbiqlarini ko’rsatishga va shular orqali bu metodni o’z-lashtirishni ta’minlashga mo’ljallangan.

Matematik induksiya metodini tadbiqlari.

Har bir fanni egallash undagi turli-tuman faktlarni, asosiy qonuniyaylarni bilib olish bilan birga shu fandagi tadqiq qilish metodlarini o’zlashtirishni ham taqozo qiladi. Qadimiy va navqiron matematika fanda ham u o’rgana- digan ob’ektlarni, qonuniyatlarini ochuvchi qator metodlar yaratilgan. Ularning ba’zilari muayyan masalalar uchun mahsus yaratilgan bo’lsa, umummatematik ahamiyatga egadir.

Ana shunday umumiy harakterdagi metodlarni mukammal egallash matema- tika fani sohasida yaxshi mutahasis bo;lishning, uning ichki sirlarini anglab yetishning zaruriy shartidir.

Matematik induksiya metodi matematikaning turli tuman, hatto bir biridan juda olis sohalarida muvafaqiyat bilan keng qo’llaniladigan metoddir. Avvalo bu metod o’zining juda sodda bo’lgan g’oyasi bilan e’tiborga sazovordir. Ik- kinchidan, bu metod isbotlanayotgan gipotezaning yoki teoremaning aniq bayonini keltirishda ma’lum “topog’onlik” ni talab etishi bilan ham harakter- lidir.

Matematik induksiya elemental matematikaning barcha sohalaridagina emas, balki hozirgi zamonaviy matematikaning turli bo’limlarida ham yangi-yangi faktlarni isbot qilishning muhim omilidir.

Matematik induksiya metodi biror-bir tasdiqni hosil qilish usuli emas, balki berilgan tasdiqni isbotlash usuli ekanligini eslatib o’tamiz. Bu metod- ning qo’llanishiga doir misollar ko’rib chiqamiz.

1-misol. N ning barcha natural qiymatlarida ifodaning qiymati 6 ga bo’linishini isbotlang.

Isbot. Matematik induksiya metodini qo’llaymiz.

1. 
   n=1 bo’lsin. U holda
   

ga ega bo’lamiz. 12 soni 6 ga bo’linadi.

2. 
   n=k bo’lsa, ifodaning qiymati soniga teng
   

bo’ladi. Bu son 6 ga bo’linadi deb faraz qilamiz.

N=k+1 da. Ushbu

ifoda 6 ga bo’linishini isbotlaymiz. Bining uchun yuqoridagi ifodadagi qavs- larni ochib chiqamiz va quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi.

Farazimizga ko’ra, soni 6 ga bo’linadi. Ketma-ket keluvchi ikkita natural sonning ko’paytmasi bo’lgan soni 2 ga bo’lingani uchun,

soni 6 ga bo’linadi. Shuning uchun

soni 6 ga bo’linadi.

Demak n ning barcha natural qiymatlarida ifoda 6 ga bo’linadi.

Matematik induksiya metodi degan nom bir oz noqulayroq tanlangan bo’lib, uning induksiya metodi bilan hech qanday umumiyligi yo’q.

Matematika induksiya metodi – deduktiv metod, u induktiv mulohazalar yor- damida aniqlangan tasdiqlarning qat’iy isbotini beriladi yoki uni qat’iyan rad etadi.

Bu metodnimg asosini aniqlaylik. Metematik induksiya bilan isbotlaganimiz-da: agar biror A(n) tasdiq n=1 uchun o’rinli bo’lsa, n=k uchun A(n) tasdiqni

to’g’ri deb faraz qilib, n=k+1 uchun uning to’g’riligini isbotladik va shundan so’ng aytilgan A(n) tasdiq istalgan n natural son uchun to’g’ri deb xulosa qil- dik. Bu mulohazalardan, agar A(n) tasdiq n=1 da to’g’ri bo’lsa u n=2, n=3 va hokazolar uchun o’rinli bo’ladi, demak, u barcha n natural sonlar uchun to’g’ri bo’ladi. Bu yerda natural sonlar tushunchasi o’z-o’zidan ayon, izoh talab qilmaydigan tushuncha deb hisoblangan edi. Ammo hozirgi zamon matematikasida o’z-o’zidan ayon tushunchalardan foydalanilmasadan, har qanday tushuncha avvaldan ma’lum tushunchalar yordamida aniqlangan bo’li- shi yoki aksiomatik kiritilishi kerak.

Arifmetika uchun bunday boshlang’ich tushunchalar birlik, natural son va “bundan keyin keladi” tushunchalari bo’lib, bu tushunchalarning asosiy hossa-lari - Peano aksiomalaridir.

Bu aksiomalar natural son tushunchasini aniqlashga bag’ishlanadi.