Akademik litseylarda matematik induksiya metodini o’qitish metodikasi. Ayniyatlarni isbotlash va yig’indi hamda ko’paytmalarni hisoblashda matematik induksiya metodi

Induktiv va deduktiv fikrlash. Chala va to’la induksiya.

Matematikaning boshqa fanlarda farqli tomoni shundan iboratki, bu fan o’z nazariyasini deduktiv asosida quradi. Xulosalar ikki turga bo’linadi: umumiy va xususiy. Umumiy xulosalarga misollar keltiraylik: Har qanday parallelogrammning diagnollari kesishish nuqtasida teng ikkiga bo’linadi. Oxirinol bilan tugovchi barcha sonlar beshga bo’linadi. Istalgan teng yonli uchburchak simmetriya o’qiga ega.

Bu misollarga mos keluvchi xususiy xulosalar: ABCD parallelogrammning diagnollari kesishish nuqtasida teng ikkiga bo’linadi. 150 soni 5 ga bo’linadi. Berilgan uchburchak teng yonli bo’lsa, u holda bunday uchburchak simmetriya o’qiga ega.

Umumiy xulosalardan xususiy xulosalar chiqarish deduksiya deyiladi. Deduksiya so’zi o’zbek tilida “xulosa chiqarish” degan ma’noni bildiradi. Deduksiya ilmiy fikrlashning yagona usuli emas. Fizika, kimyo, biologiya kabi fanlarda kuzatish va tajribalarga suyanib, induktiv mulohazalar yuritish keng qo’llaniladi. Induksiya so’zi o’zbek tilida “boshqarib aramet” yoki “yetaklab aramet” kabi ma’nolarni bildiradi.

Xususiy xulosalardan umumiy xulosalar chiqarish induksiya deyiladi.

Deduksiya – oldindan mavjud bo’lgan bir umumiy haqiqat, umumiy prinsipning o’ziga xos tartibli fikrlash va mantiq qoidalariga asoslangan holda, maydaroq, yakka holatlarga tadbiq qilinishiga aytiladi. Deduksiyada umumiy bir gipoteza hayotdagi mavjud yakka holatlar orqali tekshirib chiqiladi. Bu umumiy prinsip oldindan mavjud, va holatlarni faqatgina bu prinsipni tekshirish, tatbiq qilish uchungina o’rganiladi. Bu yerda birlamchi o’rinda mantiq turadi; tajriba esa ikkilamchi hisoblanadi.

Induksiya – ma’lum miqdorda yakka holdagi fakt, hodisa va jarayonlarni kuzatish orqali, shu kuzatishlarga tayangan holda ishlab chiqarilgan umumiy xulosa chiqarish. Bu usul bo’yicha, oldin ko’p miqdordagi obyekt yoki jarayonlar yaxshilab kuzatiladi, o’rganib chiqiladi, keyin ushbu kuzatishlardan yagona, umumiy xulosa chiqariladi. Induksiyada mantiq asosiy o’ringa ega emas, tajribabirlamchi ro’lga ega. Faktlardan qoidaga qarab, yakka holdagi ko’plab o’rnaklardan yagona umumiy xulosaga qarab boriladi. Xususiy holatlar, fikrlardan umumiy bir xulosa ishlab chiqiladi.

Induksiya (matematikada) — muhim isbotlash usullaridan biri; matematik induksiya aksiomasiga (prinsipiga) asoslanadi. Induksiya arifmetik vaarametri progressiya formulalarini, logarifmlarni oʻrganishda uchraydigan formulalarni, Nyuton binomi va kombinatorikaga doir formulalarni chiqarish va b. da keng qoʻllanadi.

Yuqorida takidlab o’tkanimizdek deduksiya – fikrlashning umumiy tastiqlaridan xususiy tastiqlarga o’tish formasidir. Bunga misollar ko’raylik.

1-misol.

Bir va o’zidan boshqa bo’luvchilarga ega bo’lgan sonlar murakkab sonlar to’plamini tashkil etadi. (A) 9 soni 1 va 9 dan boshqa 3 ga bo’linadi. (B) 9 murakkab son. (D)

2-misol.

Barcha to’rtburchaklar ko’pburchaklar oilasiga tegishli. (A) ABCD trapetsiya – to’rtburchak. (B) ABCD trapetsiya ko’pburchaklar oilasiga tegishli. (D)

Har ikkala misolda ham (A) umumiy tasdiqdan (B) tasdiq yordamida (D) xu- susiy tasdiq hosil qilindi.

Induksiya – fikrlashning xususiy tasdiqlaridan umumiy tasdiqlarga o’tish for- masidir. Bunga ham misollar ko’raylik.

3-misol.

140 soni 5 ga bo’linadi. (A) Nol bilan tugaydigan barcha sonlar 5 ga bo’linadi. (B) (A) xususiy tasdiqdan (B) umumiy tasdiq hosil qilindi. (B) tasdiq to’g’ridir.

4-misol.

140 soni 5 ga bo’linadi. (A) Barcha uch xonali sonlar 5 ga bo’linadi. (B)

1. 
   xususiy tasdiqdan (B) umumiy tasdiq hosil qilindi. (B) tasdiq noto’g’ri- dir. 3 – 4 misollardan ko’rinadiki induksiya to’g’ri hamda noto’g’ri xulosalarga olib kelishi mumkin. Bu fikr keying misollarda kengroq ochiladi.
   

Tadqiqotchi biror faktni isbotlashda avval, turli mulohazalar yordamida bu faktning borligini fahmlashi, uni isbotlshga kirishishidan avval esa isbotlash

g’oyalarini anglab yetishi kerak bo’ladi.

Deduksiys va induksiya bir – birini to’ldiruvchi fikrlash formalaridir. Haqi- qatan ham, isbotlanishi kerak bo’lgan tasdiqlar kuzatishlarga asoslangan holda induktiv yo’l bilan hosil qilinadi, so’ngra bu tasdiqning to’g’riligi isbotlash- ning biror ddeduktiv metodi yordamida ko’rsatiladi.

Induksiya metodi fizika, kimyo va boshqa tabiiy fanlarda, shuningdek, matimatikada ham keng qo’llaniladi, ya’ni bu metod yordamida turli mate- matik tasdiqlar hosil qilinadi. Bunga misol keltiraylik:

5-misol.

2 soning ketma – ket kelgan uchta darajasining yig’indisini qaraylik:

hosil bo’lgan son 7 ga bo’linadi. Endi

<sub>hosil bo’lgan son yana 7 ga karrali. Navbatdagi darajalarni qo’shaylik:



hosil bo’lgan son yana 7 ga karrali.

Bajarilganlarga asoslanib ushbu tasdiqni aytish mumkin: 2 sonining ixtiyoriy uchta ketma-ket kelgan darajasining yig’indisi 7 ga karralidir, ya’ni</sub>

uchun

<sub>yig’indi 7 ga qoldiqsiz bo’linadi.

6-misol.

Ushbu ko’phadni qaraylik:



Bu ko’phadni x o’rniga ketma ket 0, 1, 2, 3, 4, 5 sonlarini qo’yaylik, natijada ushbu

P(0)=41, P(1)=43, P(2)=47, P(3)=53, P(4)=61, P(5)=71

Tub sonlar hosil bo’ladi. So’ngra x o’rniga -1, -2, -3, -4, -5 larni qo’ysak:

P(-1)=41, P(-2)=43, P(-3)=47, P(-4)=53, P(-5)=61

yana tub sonlarga ega bo’lamiz. Shuningdek, x o’rniga

larni qo’ysak:

P(-6)=71, P(6)=83, P(-7)=83, P(7)=97, P(-8)=97, P(8)=113

Tub sonlar hosil bo’ladi.

Olingan natijalarga asoslanib ushbu gipotezani aytish mumkin: P(x) uch- haddagi x o’rniga ixtiyoriy butun sonni qo’yish natijasida tub son hosil bo’ladi.

Yuqoridagi har ikkala misolda ham gipotezalar induksiya yordamida hosil qilindi, ammo uritilgan mulohazalar keltirilgan gipotezalarning isboti bo’lib xizmat qila olmaydi.

Avval aytilgandek, induksiya yordamida ochilgan qonuniyatlar to’g’ri bo’lishi ham, noto’g’ri bo’lishi ham mumkin. Shu sababli, induksiya yordamida hosil qilingan qonuniyatning to’g’ri yoki hoto’g’ri ekani biror deduktiv metod yordamida qat’iy isbotlanmog’i kerak.

6-misoldagi gipoteza xatodir, ya’ni shunday musbat butun x sonni aramet mumkinki, P(x) tub son bo’lmaydi. Bunda x sifatida x=40 olish mumkin. U holda


bo’ladi, bu murakkab son. Shuningdek x=-41 bo’lsa,



bo’ladi.

Tadqiqot jarayonida bir nechta xususiy hollarni to’g’riliga asoslanib xulosa chiqarish to’lamas induksiya deyiladi. To’lamas induksiya yordamida hosil

qilingan va keyinchalik xato ekanini aniqlangan yana bir nechita misol kel- tiraylik.

7-misol.</sub>

ko’rinishdagi sonni qaraylik. N=0,1,2,3,4 bo’lganda

tub sonlar hosil bo’ladi.

P. Ferma yuqoridagi ko’rinishdagi barcha sonlar tub bo’ladi degan gipote-zani aytgan edi. Ammo ____ asrga kelib L. Eyler n=5 uchun

Murakkab son hosil bo’lishini aniqlab, Ferma gipotezasining noto’g’riligini ko’rsatdi.

_8-misol. G. V. Leybnits har qanday butun musbat son uchun

Soni 3 ga, soni 5 ga soni 7 ga bo’linishini isbotladi va ularga asoslanib: “har qanday toq k va ixtiyoriy n natural son uchun soni k ga bo’linadi” degan gipotezani aytdi.

Keyinchalik uning o’zi bu gipotezaning hoto’g’riligini isbotladi, ya’ni soni 9 ga bo’linmasligini ko’rsatdi.

P. Ferma Leybnits gipotezasiktub son bo’lganda o’rinli bo’lishini isbotladi.

9-misol. ifodada n o’rniga ketma- ket 1,2,3,…,1000 sonlarini qo’yib hisoblashlarni bajarsak, biron marta ham to’la kvadratdan iborat son hosil bolmaydi.

Ammo ko’rinishidagi har qanday son to’la kvadrat emas degan gipoteza aytilsa, xato qilingan bo’ladi, chunki 29 xonali shunday m

son topilganki, bu m son uchun aniq kvadrat bo’ladi.

To’lamas induksiya yordamida har doim ham to’g’ri xulosaga kelib bo’lmas- ligini ko’rdik, ammo uning foydali tomoni shundan iboratki, uning yordamida gipotezani ifodalash, bayon etish mumkin bo;ladi, so’ngra aytilgan gipotezani isbotlash yoki rad etish lozim. Ba’zi muommolarni hal etish jarayonida uning barcha xususiy hollarini ko’rib chiqish mumkin bo’ladi.

Barcha xususiy hollarini tahlil qilish orqali mulohaza yuritish to’la induksiya deyiladi.

Shunday ekan quyidagi savolning paydo bo’lishi tabiiy. Bir qancha xususiy holler uchun to’g’ri bo’lgan tasdiq berilgan bo’lsin. Barcha xususiy hollarni qarashning imkoniyati yo’q. Umuman, bu tasdiqning to’g’ri ekanligini qanday bilish mumkin? Bu savolni matematik induksiya (to’liq induksiya) usuli bilan hal qilish mumkin.