Algebra, geometriya, matematik analiz

13-m i s o l. Har bir haqiqiy koeffisiyentli ko’phadga uning ozod hadini mos qilib qo’yuvchi akslantirish gomomorfizm bo’lishini isbotlang. Uning yadrosini toping.
Yechish. bo’lsin. U holda . Ma’lumki, ko’phadlarni qo’shishda ularning ozod hadlari qo’shiladi, ko’paytirilganda esa, ozod hadlari ko’paytiriladi. Shuning uchun gomomorfizmdir: agar bo’lsa,

bo’ladi.
O’z-o’zidan ko’rinib turibdiki, bu akslantirishda nolga faqat ozod hadi nol bo’lgan ko’phadlar o’tishi mumkin. Shuning uchun ning ideali. ■
14-m i s o l. , ko’rinishdagi sonlar to’plamini bilan belgilaymiz. Osongina ko’rsatish mumkinki,

akslantirish halqaning avtomorfizmi bo’ladi. ■
15-m i s o l. ideal halqaning ozod hadlari nol bo’lgan ko’phadlaridan iborat bo’lsin. munosabat ni, ya’ni ayirmaning ozod hadi nolga tengligini bildiradi. Ammo bu holda larning ozod hadlari bir xil bo’lsa, ayirmaning ozod hadi nol bo’ladi va shuning uchun
Shunday qilib, halqaning ideal bo’yicha chegirtmalari sinflari bir xil ozod hadlarga ega bo’lgan ko’phadlardan iborat bo’ladilar. Bu sinflarning har biri ozod hadning qiymati bilan berilishi mumkin.
Har bir ko’phadga uning ozod hadini mos qilib qo’yuvchi akslantirish ning ga gomomorf akslanishini ifodalaydi. Bunda har bir ko’phadga xuddi shunday ozod hadli ko’phadlar to’plami mos qo’yiladi. ■

Ideallar va uning xossalari
1-ta’rif . Agarda quyidagi shartlar bajarilsa, ga ideal deyiladi:
(i)
(ii) dan, bo’lsa
(iii) agar va dan, bo’lsa
Maqsadimiz ideal tushunchasining tabiiy tushuncha ekanligini, ideallarning affin ko’pxilliklar bilan qanday bog’liq ekanligi, ideallar tilida affin geometruyasining hisoblash masalalarini qanday ifodalanishini ko’rsatishdir.
Idealga eng sodda misol – chekli sondagi ko’phadlar yordamida hosil qilingan idealdir.
2-ta’rif. lar dagi ko’phadlar bo’lsin.

deb belgilaymiz.
Ko’rsatish mumkinki, to’plam ideal bo’ladi.
3-lemma. ko’phadlar halqaga tegishli bo’lsin, u holda to’plam dagi ideal bo’ladi. Bu ideal ko’phadlar yordamida hosil qilingan ideal deb, ko’phadlar esa bu idealni tashkil etuvchilari yoki hosil qiluvchi elementlari deyiladi.
Isbot. , chunki va bo’lsin. U holda

tengliklardan ning ideal ekanligi kelib chiqadi.
ideal ko’phadli tenglamalar tilida “chiroyli” izohlanadi. bo’lsin.

tenglamalar sistemasini qaraymiz. Bu tenglamalardan odatdagi algebraik almashtirishlar bajarib boshqalarni keltirib chiqarishimiz mumkin. Masalan, birinchi tenglamani , ikkinchisini - va h. k. ko’paytirsak, va ko’paytmalarni qo’shsak, boshlang’ich sistemaning natijasidan iborat bo’lgan

tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaning chap tomoni idealga tegishli bo’ladi, ya’ni idealni sistemani barcha “ko’phadli natijalar” to’plami ko’rinishda qarash mumkin.
Xuddi shu kabi (1) sistemaning boshqa “ko’phad natijalari” bu idealning elementlari bo’ladi.
ideal chekli hosil qilingan deyiladi, agarda shunday mavjud bo’lsaki, bo’lsa. Bu holda ko’phadlar to’plami idealning bazisi deyiladi. 2-bobda biz dagi har bir ideal chekli hosil qilingan ekanligini, ya’ni chekli hosil qiluvchi sistemaga ega ekanligi to’g’risidagi ajoyib faktni isbot qilamiz. (bu tasdiq bazis to’g’risidagi Gilbert teoremasi deyiladi). Shuni ta’kidlash kerakki, ideal juda ko’p har xil bazislarga ega bo’lishi mumkin.
Ideal ta’rifi chiziqli algebradagi qism fazo ta’rifiga o’xshash: bu ikki to’plam yig’indi va ko’paytma amallarga nisbatan yopiq, faqat qism fazo holida ko’paytirish skalyarga, ideallarda bo’lsa, ko’paytirish ko’phadlarga bo’ladi. Ikkinchidan, ko’phadlar yordamida hosil qilingan ideal vektorlarning chiziqli qobig’i ta’rifiga o’xshashdir. Ikki holda ham chiziqli kombinatsiyalar tuziladi, faqat chiziqli qobiq holida sonli koeffitsientlar bilan, ideal holida bo’lsa ko’phadli 7koeffitsientlar bilan tuziladi.
Ideallarning rolini quyidagi lemmada ko’rish mumkin bo’lib, unda ko’pxillikni aniqlovchi tenglamalar orqali hosil qilingan idealga bog’liq ekanligi isbot qilinadi.
4-lemma. va lar aniq bir idealning dagi bazislari bo’lsin, demak . U holda .
Misol tarzida ko’pxillikni qaraymiz. ekanligini ko’rsatish qiyin emas, shu sababli 4-lemmaga ko’ra

ega bo’lamiz. Shunday qilib, idealning bazisini o’zgartirib ko’pxillikni o’rganishni soddalashtiramiz.
Ko’pxillikni o’zgartirmay turib bazisni o’zgartirish mumkinligi juda muhim va foydali. Keyinroq ko’pxilliklar tenglamalar orqali emas, balki ideallar orqali aniqlanishini ko’ramiz. Hisoblashlar amaliyoti nuqtai nazaridan 4 – lemma va yuqorida aytib o’tilgan Gryobner bazislari affin ko’pxilliklarini o’rganish uchun kuchli usul hisoblanadi
Affin ko’pxilliklar ideallarning qiziqarli bir sinfi bilan qanday bog’lanishda ekanligini muhokama qilamiz. ko’phadlar orqali ifodalanadigan affin ko’pxillik bo’lsin. larning da nolga aylanishini bilamiz. da nolga aylanuvchi yana boshqa bir ko’phadlar bormi? 2-§dagi buralgan kubikni misol sifatida qaraymiz. Bu kubika va ko’phadlar nolga teng bo’lgan to’plam sifatida aniqlangan. Lekin 3-§dagi parametrlashtirish shuni ko’rsatadiki, va ko’phadlar kubikada nolga aylanadi. Xuddi shu xossali boshqa ko’phadlar bormi? Bunday ko’phadlarning hammasini qanday topish kerak?
Bunday savollarga javob berish uchun berilgan ko’pxillikda nolga aylanuvchi barcha ko’phadlar to’plamini qarash kerak.
5-ta’rif. affin ko’pxilligi bo’lsin.