Algebra, geometriya, matematik analiz

6-m i s o l. halqada hatto - nolmas vektor bo’lganda ham ■
7-m i s o l. halqada ko’paytmasi nol bo’lgan ikki:


noldan farqli funksiyalar mavjud. ■
, ammo bo’lsa halqaning x va u elementlari nolning bo’luvchilari deyiladi. Bu holda x – nolning chap, u – esa o’ng bo’luvchisi (kommutativ halqalarda bunday farqlash o’rinli emas) deyiladi.
- nolning bo’luvchilarisiz halqalar, va lar esa nolning bo’luvchilarili halqalardir.
Halqaning ta’rifiga ko’ra uning hamma elementlari to’plami qo’shishga nisbatan gruppa tashkil etadi. Bu gruppa halqaning additiv gruppasi deyiladi. Birli halqaning a elementi uchun ham bo’lsa a element K ning teskarilanuvchi elementi deyiladi. Assosiativ birli to’plami ko’paytirishga nisbatan gruppadir. Bu gruppa halqaning multiplikativ gruppasi deyiladi.
Birli halqada teskarilanuvchi element birning bo’luvchisi ham deyiladi.
8-m i s o l. Agar halqa nolning bo’luvchilariga ega bo’lmasa ixtiyoriy uchun yoki dan kelib chiqadi, ya’ni tenglikning ixtiyoriy tomondan noldan farqli umumiy ko’paytuvchiga qisqartirish mumkin. Shuni isbot qiling.
Yechish. bo’lsin. U holda ammo . Shu sababdan nolning bo’luvchilari mavjud bo’lmagani sababli: ya’ni Xuddi shunday tartibda tenglikdan hosil qilinadi. ■
9-m i s o l. Birli assosiativ halqada nolning hyech qanday bo’luvchisi birning bo’luvchisi bo’laolmaydi.
Yechish. Masalan bo’lib, , x esa teskari elementga ega bo’lsin ( u esa teskari elementga ega bo’lgan hol ham xuddi shunday tarzda qarab chiqiladi. Ammo u holda . Bundan assosiativlik qonuniga ko’ra, . Bu esa degan farazimizga ziddir. ■
Yagona elementdan iborat halqa (bu yagona element halqaning ham biri ham noli bo’lib xizmat qiladi) trivial halqa deyiladi. Agar halqada 1=0 tenglik o’rinli bo’lsa, u holda bu halqa trivial halqa bo’ladi; haqiqatan u holda ixtiyoriy uchun bo’ladi. Nolning bo’luvchilariga ega bo’lmagan birli notrivial assosiativ-kommutativ halqa butunlik sohasi (yoki butunlik halqasi) deyiladi. Masalan, shunday halqadir.