Algebra, geometriya, matematik analiz

9-m i s o l. Butun sonlar halqasi va bitta x o’zgaruvchining haqiqiy koeffisiyentli ko’phadlari halqasi yevklidiy fazolardir. halqada da esa uchun ning darajasini olish kerak. ■
10-m i s o l. Har qanday yevklidiy halqa bosh ideallar halqasi bo’lishini isbot qiling.
Yechish. halqaning nolmas idealida shunday a elementni tanlaymizki, eng kichik musbat qiymat qabul qilsin. (Bunday element mavjud chunki hamma qiymatlar nomanfiy butun sonlar). U holda dagi hamma elementlarni ifodalash mumkin. Chindan ham, aks holda, bo’lar edi. Shu bilan birga va bo’lgani uchun ham bo’ladi. Shunday qilib biz da shunday element topdikki, Bu esa a ning tanlab olinganiga ziddir. Demak, b ni shaklda ifodalash mumkin. Shuning uchun , bu yerda ning hamma sonlarini qabul qiladi. Shunday qilib bosh idealdir. ■
11-m i s o l. Oldingi misoldan va halqalar bosh ideallar halqalari ekanligi kelib chiqadi. ■
12-m i s o l. Butun gaussiy sonlar halqasi ning yevklidiy halqa ekanligini isbot qiling.
Yechish.Bu halqa kompleks sonlar halqasining qismhalqasi bo’lganligi uchun butunlik sohasidir. Shuning uchun yoki bo’lganda va faqat shu holdagina bo’ladi.
uchun bo’lsin. Shubhasizki va
son yevklidiy fazo ta’rifining ikkinchi shartini ham qanoatlantirishini isbot qilamiz. va bo’lsin. bo’ladigan son mavjud bo’lishini isbot qilamiz. Avval ni ga bo’lamiz:
bo’ladigan ga yaqinroq sonlarni va bilan belgilaymiz va deymiz. ayirmani bilan belgilasak bo’ladi.
va sonlarning tanlanishiga ko’ra:
va bo’lgani uchun . Demak, bu yerda Shuning uchun yevklidiy halqa va shu sababli bosh ideallar halqasi ham. ■
13-m i s o l. Har bir haqiqiy koeffisiyentli ko’phadga uning ozod hadini mos qilib qo’yuvchi akslantirish gomomorfizm bo’lishini isbotlang. Uning yadrosini toping.
Yechish. bo’lsin. U holda . Ma’lumki, ko’phadlarni qo’shishda ularning ozod hadlari qo’shiladi, ko’paytirilganda esa, ozod hadlari ko’paytiriladi. Shuning uchun gomomorfizmdir: agar bo’lsa,

bo’ladi.
O’z-o’zidan ko’rinib turibdiki, bu akslantirishda nolga faqat ozod hadi nol bo’lgan ko’phadlar o’tishi mumkin. Shuning uchun ning ideali. ■
14-m i s o l. , ko’rinishdagi sonlar to’plamini bilan belgilaymiz. Osongina ko’rsatish mumkinki,

akslantirish halqaning avtomorfizmi bo’ladi. ■
15-m i s o l. ideal halqaning ozod hadlari nol bo’lgan ko’phadlaridan iborat bo’lsin. munosabat ni, ya’ni ayirmaning ozod hadi nolga tengligini bildiradi. Ammo bu holda larning ozod hadlari bir xil bo’lsa, ayirmaning ozod hadi nol bo’ladi va shuning uchun
Shunday qilib, halqaning ideal bo’yicha chegirtmalari sinflari bir xil ozod hadlarga ega bo’lgan ko’phadlardan iborat bo’ladilar. Bu sinflarning har biri ozod hadning qiymati bilan berilishi mumkin.
Har bir ko’phadga uning ozod hadini mos qilib qo’yuvchi akslantirish ning ga gomomorf akslanishini ifodalaydi. Bunda har bir ko’phadga xuddi shunday ozod hadli ko’phadlar to’plami mos qo’yiladi. ■