Algebraik kasrlar ustida amallar

ALGEBRAIK KASRLAR USTIDA AMALLAR
Kubeysinova Venera Raxmanovna
Qoraqolpog‘iston Respublikasi, To'rtko'l tumani, Xalq ta'limi bo'limiga qarashli
15- son umumiy o'rta ta'lim maktabi matematika fani o'qituvchisi
Annotatsiya: Algebraik kasrlar - qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish kabi matematik operatorlar bilan ajratilgan sonli va o'zgaruvchan atamalarni o'z ichiga olgan ifodalar. Ular algebraning muhim qismidir, chunki ular bizga murakkab ifodalarni soddalashtirish va tenglamalarni echishda yordam beradi. Ushbu maqolada biz algebraik kasrlar ustida bajarilishi mumkin bo'lgan turli amallarni, jumladan qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish kabilarni ko'rib chiqamiz.
Kalit so’zlar: Algebraik kasrlar, amallar, qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, soddalashtirish.
Algebraik kasrlar maxrajda kamida bitta o'zgaruvchi ko'rinadigan raqamlar bilan bir qatorda o'zgaruvchilarni ham o'z ichiga olgan ifodalardir. Masalan, 3/2 va 5x/6 algebraik kasrlardir. Algebraik kasrlar ustidagi amallar qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lishdan iborat.
Algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish. Algebraik kasrlarni qo‘shish yoki ayirish uchun avval umumiy maxrajni topishimiz kerak. Bu qo'shilayotgan yoki ayiriluvchi kasrlarning maxrajlarining eng kichik umumiy karrali. Masalan, 2/3 va 1/6 ni qo'shish uchun umumiy maxrajni topishimiz kerak, bu 6. Keyin, 2/3ni 4/6 va 1/6ni 1/6 deb yozishimiz mumkin. Shuning uchun, 2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6.
Agar kasrlar turli xil maxrajlarga ega bo'lsa, umumiy maxrajni olish uchun har bir kasrni tegishli koeffitsientga ko'paytirishimiz kerak. Masalan, 1/3 va 2/5 ni qo'shish uchun umumiy maxrajni topishimiz kerak, bu 15. Keyin 1/3ni 5/15 va 2/5ni 6/15 deb yozishimiz mumkin. Shuning uchun 1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15.
Buni ko'rsatish uchun (4x+3)/(2x-1) va (3x-1)/(4x+3) kasrlarni ko'rib chiqamiz. Ularni ayirish uchun birinchi navbatda maxrajlarning LKM ni topamiz, bu (2x-1)(4x+3). Keyin birinchi kasrni (4x+3)/(4x+3) va ikkinchi kasrni (2x-1)/(2x-1) ga ko'paytiramiz, biz quyidagilarni olamiz:
(4x+3)/(2x-1) * (4x+3)/(4x+3) = (16x^2 + 24x + 9)/(2x-1)(4x+3)
(3x-1)/(4x+3) * (2x-1)/(2x-1) = (6x^2 - 5x + 1)/(2x-1)(4x+3)
Endi biz ikkinchi kasrning belgisini o'zgartiramiz va uni birinchisiga qo'shamiz:
(16x^2 + 24x + 9)/(2x-1)(4x+3) - (6x^2 - 5x + 1)/(2x-1)(4x+3) = (10x^2 + 29x + 8 )/(2x-1)(4x+3)
Shuning uchun (4x+3)/(2x-1) - (3x-1)/(4x+3) = (10x^2 + 29x + 8)/(2x-1)(4x+3).
Algebraik kasrlarni ko'paytirish. Algebraik kasrlarni ko'paytirish uchun biz sonlarni va maxrajlarni alohida ko'paytiramiz. Masalan, 3/4 va 2x/5 ni ko'paytirmoqchi bo'lsak, hosilani (3*2x)/(4*5) = 6x/20 shaklida yozishimiz mumkin. Bu kasrni pay va maxrajni eng katta umumiy koeffitsientiga, ya'ni 2 ga bo'lish orqali soddalashtirishimiz mumkin. Shuning uchun 3/4 * 2x/5 = 3x/10.
Algebraik kasrlarni ko'paytirish hisoblagichlar va maxrajlarni alohida ko'paytirishni va natijani soddalashtirishni o'z ichiga oladi. Natijani soddalashtirish uchun biz pay va maxrajni faktorlarga ajratishimiz va keyin ular orasidagi umumiy omillarni bekor qilishimiz kerak.
Masalan, (2x+3)/(4x-1) va (3x-2)/(x+1) kasrlarni ko'paytirmoqchimiz deylik. Ushbu ikki kasrning ko'paytmasini olish uchun biz sonlarni bir-biriga va maxrajlarni birga ko'paytiramiz:
(2x+3)/(4x-1) * (3x-2)/(x+1) = (2x+3)(3x-2) / (4x-1)(x+1)
Ushbu ifodani soddalashtirish uchun biz son va maxrajni quyidagicha koeffitsientlarga ajratamiz:
(2x+3)(3x-2) = 6x^2 + 5x - 6
(4x-1)(x+1) = 4x^2 + 3x -1
Endi soddalashtirilgan natijani olish uchun pay va maxraj o'rtasidagi har qanday umumiy omillarni bekor qilishimiz mumkin:
(2x+3)/(4x-1) * (3x-2)/(x+1) = (6x^2 + 5x - 6)/(4x^2 + 3x - 1)
Algebraik fraksiyalarni bo'lish: Algebraik kasrlarni bo'lish ikkinchi kasrni teskari (ya'ni, hisob va maxrajni almashtirish) va uni birinchi kasrga ko'paytirish orqali amalga oshiriladi. Bu birinchi kasrni ikkinchi kasrning teskari qismiga ko'paytirishga teng.
Masalan, (5x-3)/(4x+1) va (3x-1)/(2x+1) kasrlarni ko'rib chiqing. Ushbu kasrlarni bo'lish uchun birinchi navbatda ikkinchi kasrning teskari qismini olamiz:
(3x-1)/(2x+1) = (2x+1)/(3x-1)
Keyinchalik, birinchi kasrni ikkinchi kasrning teskari qismiga ko'paytiramiz:
(5x-3)/(4x+1) * (2x+1)/(3x-1) = (10x^2 - 7x - 3)/(12x^2 - x - 1)
Shuning uchun (5x-3)/(4x+1) ÷ (3x-1)/(2x+1) = (10x^2 - 7x - 3)/(12x^2 - x - 1).
Algebraik kasrlar bo'limi. Algebraik kasrlarni bo'lish uchun birinchi kasrni ikkinchi kasrning teskari qismiga ko'paytirish kerak. Masalan, 3/4 ni 2x/5 ga bo'lishni istasak, qismni (3/4)/(2x/5) = 3/4 * 5/2x shaklida yozishimiz mumkin. Bu ifodani 5 ni 10/2 qilib yozib, pay va maxrajdagi 2 ni bekor qilish orqali soddalashtira olamiz. Shuning uchun 3/4 ÷ 2x/5 = 15/8x.
Algebraik kasrlarni soddalashtirish. Algebraik kasrlarni soddalashtirish uchun biz hisoblagichlar va maxrajlarni to'liq faktorlarga ajratishimiz va keyin umumiy omillarni bekor qilishimiz kerak. Misol uchun, agar biz 4x^2 - 16x + 12/2x^2 - 8x ni soddalashtirmoqchi bo'lsak, hisob va maxrajni quyidagicha koeffitsient qilishimiz mumkin:
4x^2 - 16x + 12 = 4(x^2 - 4x + 3) = 4(x - 1)(x - 3)
2x^2 - 8x = 2x(x - 4)
Keyin 4, x - 4 va 2 bo'lgan umumiy omillarni bekor qilishimiz mumkin. Shuning uchun 4x^2 - 16x + 12/2x^2 - 8x = (x - 1)/(x - 4).
Agar biz 6x^4 - 10x^3/18x^2 - 24x^3 ni soddalashtirmoqchi bo'lsak, soddalashtirishning yana bir misoli bo'ladi. Numerator va maxrajni alohida ajratamiz.
6x^4 - 10x^3 = 2x^3(3x - 5)
18x^2 - 24x^3 = 6x^2(3-4x)
Endi iloji boricha umumiy omillarni bekor qilamiz; bu holda, 2x^3 va 6.
6x^4 - 10x^3/18x^2 - 24x^3 = 2x^3(3x - 5)/6x^2(3 - 4x)
Numerator va maxrajdan x va -5 ni bekor qilish orqali uni yanada soddalashtiramiz.
6x^4 - 10x^3/18x^2 - 24x^3 = 2x(3x - 5)/6(3 - 4x)
Shuning uchun soddalashtirilgan ifoda x(3x - 5)/3(3 - 4x)
Algebraik kasr operatsiyalarida yo'l qo'ymaslik kerak bo'lgan umumiy xatolar. Algebraik kasr amallarida keng tarqalgan xatolarga qo‘shish yoki ayirishda umumiy maxrajni topmaslik, natijani soddalashtirmaslik, noto‘g‘ri atamalarni bekor qilish, amallar tartibini to‘g‘ri qo‘llamaslik kiradi. Bundan tashqari, soddalashtirilgan kasr o'zgaruvchining ma'lum qiymatlari uchun haqiqiy bo'lmaganda yuzaga keladigan begona echimlarni tekshirish kerak.
Xulosa
Xulosa qilib aytadigan bo'lsak, algebraik kasrlar bo'yicha operatsiyalar asosiy arifmetika va faktoring ko'nikmalarini tushunishni talab qiladi. Algebraik kasrlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish umumiy maxrajni topish, kasrlarni ko'paytirish yoki bo'lish, umumiy ko'rsatkichlarni ko'paytirish va bekor qilish orqali natijani soddalashtirishni o'z ichiga oladi. Bosqichlarni diqqat bilan tekshirish va eng past muddatga javobni soddalashtirish orqali keng tarqalgan xatolardan qochish kerak. Algebraik kasrlar algebraik hisob-kitoblarda muhim vositadir, chunki ular bizga ifodalarni soddalashtirish va tenglamalarni echish imkonini beradi. Ushbu inshoda biz algebraik kasrlar ustida bajarilishi mumkin bo'lgan turli amallarni, jumladan qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish kabilarni ko'rib chiqdik. Shuningdek, biz ushbu operatsiyalarni qanday amalga oshirish mumkinligini ko'rsatadigan misollar keltirdik. Bu amallarni o‘zlashtirib, o‘quvchilar algebraik ko‘nikmalarini oshirib, masalalarni malakali yechuvchi bo‘lishlari mumkin.