Algebraik sistemaga

=j₂(j₁(y))=j₂(y)=x(j₂oj₁)oj₂=j₁; [j₂o(j₁oj₂)](x)=j₂o(₁(x)))=
=j₂(j₁(y))=j₂(y)=xj₂o(j₁oj₂)= j₁
bulardan (j₂oj₁)oj₂=j₂o(₁oj₂) kelib chiqadi. Qolgan mumkin bo‘lgan
hollarni ham shu kabi tekshirib ko‘rish mumkin.
2⁰: G da j₁ neytral element vazifasini bajaradi. 3⁰: f, va f₂ larning har biri o‘z - o‘ziga teskari bo‘ladi.
(j₂oj₂)(x)= j₂(j₂)(x)= j₂(y)=xj₂ oj₂=j₁o j₁
(j ₂oj ₂)(y)= j ₂(j ₂)(y)= j ₂(y)=y j₁(y)  j ₂o j ₂=
(j₁oj₁)(x)=j₁(j₁(x))=j₁(x), (j₁oj₁)(y)=j₁(j₁(y))=j₁(y)j₁o j₁=j₁
Demak, j₁^{-1 =} j₁ j₂^-1= j ₂ 4⁰: j₁o j ₂=j₂ o j₁ ekanligini bevosita
oson. Demak, (G; ⁰ , j₁) Abel gruppasi ekan.
G gruppa bo‘lsa, (aG) e*a=a. va a'*a=e tengliklar ham o‘rinli bo‘ladi.
3.5-TA’RIF. G gruppa GN bo‘lib, agar N to‘plam G da aniqlangan amalga nisbatan o‘zi gruppa bo‘lsa, u holda N gruppa G gruppaning qism gruppasi deyiladi.
MISOL 6. (2Z; + , 0) gruppa (Z; + , 0) gruppaning qism gruppasi bo‘ladi.
3.6-TA’RIF. Aytaylik (G₁; * ) va (G₂;  ) gruppalar bo‘lsin.
Agar j:G₁G₂ - syur’ektiv akslantirish
"(a,bÎG) j(a*b)= j(a) j(b)
shartni qanoatlantirsa, G₁ gruppa G₂ gruppaga gomomorf deyiladi,
j- akslantirish esa bu gruppalarning gomomorfizmi deyiladi.
Agar j:G₁G₂ - biektiv akslantirish bo‘lsa, u holda G₁va G₂ gruppalarning gomomorfizmi a ni izomorfizm deyiladi.
MISOL. 7. Aytaylik G₁=Z, G₂={2ⁿ::nÎ Z} bo‘lsin, u holda
(Z; +, 0), (G₂;  , 1) lar gruppalar bo‘ladi.
"(nÎZ) j(n)=2ⁿ, j:ZG₂
biektiv akslantirish, shu bilan birga ,
" (n,mÎ Z) j (n+m)=2^p+m=2ⁿ-2^m=j (n)j (m)
ekanligidan (Z; + , 0) gruppa {G₂;  , 1) gruppaga izomorf. j esa ularning izomorfizmi bo‘ladi.
MUSTAQIL ISH UCHUN MISOLLAR
3.4. Quyidagi algebralaraik sistemalarning qaysilari yarimgruppa, qaysilari monoid, qaysilari gruppa bo‘ladi.
1) (Z; + ); 2) (Z; ); 3) ( Q; +); 4) (Q;); 5) (R;+); 6) (R;+);
7) (Z \{0}; ); 8) ( Q\{0};  ); 9) ( R \{0}; ); 10) (n Z,+ )
bu erda nÎ N; 11) ( {-1;1}; ); 12 ( (a^x; xÎ R}; ), bu erda a Î R, a>0;
3.5. 1) ( Z[ ];+,0); 2) (g [ ];+,0); 3) (Q[ ]\{0};  ,1)
algebralarni gruppa ekanligini isbotlang.
4) agar K= bo‘lsa, (K; , 1) algebraik
sistemani gruppa ekanligini isbotlang.
5) agar K= bo‘lsa, (K; , 1) algebraik
sistemani gruppa ekanligini isbotlang
6) agar Q₀ = Q\{0} to‘plamda o binar amal quyidagicha, ya’ni
" (a,bÎQ₀) aob= kabi aniqlangan bo‘lsa
( Q₀; o,2) algebrani gruppa ekanligini isbotlang.
3.6. 1) Agar G=(G;0,l) gruppaning ixtiyoriy a elementi uchun (a²=l)
shart bajarilsa, G ni kommutativ gruppa ekanligini isbotlang.
2) agar G=(G;o,1) gruppa bo‘lsa, u holda " (a,bÎG) (a-b)^-1 b^-1a^-1 ekanligini isbotlang.
3.7. Agar G={e,a,b] va F={e,j,c,y,z} to‘plamlarda amallar mos ravishda
quyidagi Keli jadvallari bilan berilgan bo‘lsa, bu to‘plamlarni shu amallarga nisbatan Abel’ gruppasi bo‘lishini isbotlang

	e	a	b
e	l	a	b
a	a	b	e
b	b	e	a

	l	x	y	z
l	e	x	y	z
x	x	y	z	e
y	y	z	e	x
z	z	e	x	y

3.8. Aytaylik,
R\{0} to‘plamda aniqlangan funktsiyalar to‘plamida amal
(f_i  f_j) (x)=f_i (f_j (x)) i,j=l,2,3,4 berilgan bo‘lsin. U holda (F; ; f, ) algebraik sistemani gruppa ekanligini isbotlang. Bu amal uchun Keli jadvalini tuzing.
3.9. Aytaylik
R\{0,1} to‘plamda aniqlangan funktsiyalar to‘plamida amal
(f_i f_j) (x)=f_i (f_j (x)) i,j=0, 1,2,3,4 ko‘rinishda berilgan bo‘lsin. U holda (E; ; f₀ ) algebraik sistemani gruppa ekanligini isbotlang. Bu amal uchun Keli jadvalini tuzing.
3.10. 1) (2Z;+;0) gruppa ( Z; +, 0 ) gruppaning qism gruppasi, ekanligini isbotlang.
2) ( {2^x:x  Z};  ; 1) gruppa (Q\{0};  ; 1) gruppaning qism
gruppasi ekanligini isbotlang.
3) ( Z; + ; 0 ) gruppa (Z ;+,0) gruppaning qism gruppasi ekanligini isbotlang.
3.11. 1) (Z; + ; 0), (n Z;+;0) 2) (R; +,0) , ( {a^x:x  R}1)
3) 3.5. -misoldagi (Q {0};  1) va (K; , 1)
gruppalarning izomorf ekanligini isbotlang.

4. 
   (Z ;+,0) va (Z; + : 0) gruppalar gomorf ekanligini isbotlang.
   
5. 
   ( S; + , 0), ( R; + , 0 ) gruppaga gomomorf ekanligini isbotlang.
   
6. 
   Uchta elementli ixtiyoriy ikkita gruppaning o‘zaro izomorf ekanligini isbotlansin.