Algebraik strukturalar nazariy matematikaning tarkibiy qismi o‘laroq shakllangan

Algebraik strukturalar nazariy matematikaning tarkibiy qismi o‘laroq shakllangan

Algebraik strukturalar - nazariy matematikaning tarkibiy qismi o‘laroq shakllangan. Shunga qaramay, algebraik strukturalar fizika, kimyo va boshqa fan sohalaridagi muhim masalalar yechimi uchun tadbiq qilina boshlandi va tez orada texnikada ham o‘z amaliy ahamiyatini namoyon qildi. Umuman olganda, algebraik strukturalar tushunchasi bugungi kunda shunchaki nazariy matematika sohasi chegarasidan tashqariga chiqib ketgan. Algebraik strukturalar fizika, kimyo va ayniqsa informatika sohalarida o‘ta muhim ahamiyat kasb etmoqda. Guruhlar nazariyasi va algebraik strukturalar tushunchasisiz nisbiylik nazariyasi va kvant mexanikasini barpo qilish imkonsiz bo‘lgan bo‘lur edi

Ko‘plab jarayonlarni o‘rganish va tadqiq qilishda algebraik strukturalarni tadbiq etish masalasi yuzaga chiqadi. Algebraik strukturalarni qo‘llashda esa, muayyan darajadagi mavhimiyat (abstraksiya) talab qilinadi. Aslida bu narsa nafaqat algebraik strukturalarga, balki, kundalik hayotimizdagi ko‘plab boshqa narsalarga ham taalluqli bo‘lib, mavhum tushunchalar - turmushimizning chambarchas qismidir. Mavhum tushunchalar - insonning tafakkur va tasavvur qobiliyatida o‘ziga xos muhim o‘ringa ega.
Ko‘plab jarayonlarni o‘rganish va tadqiq qilishda algebraik strukturalarni tadbiq etish masalasi yuzaga chiqadi. Algebraik strukturalarni qo‘llashda esa, muayyan darajadagi mavhimiyat (abstraksiya) talab qilinadi. Aslida bu narsa nafaqat algebraik strukturalarga, balki, kundalik hayotimizdagi ko‘plab boshqa narsalarga ham taalluqli bo‘lib, mavhum tushunchalar - turmushimizning chambarchas qismidir. Mavhum tushunchalar - insonning tafakkur va tasavvur qobiliyatida o‘ziga xos muhim o‘ringa ega.
Amaliy fan sohalaridan, nisbatan nazariya, boshqacha aytganda, fundamental fanlarga kirib borgan sari, ushbu fan sohasida qo‘llanadigan mavhumlik darajasi ham ortib boradi. Bir vaqtning o‘zida, mavhumlik orqali qaraladigan strukturalarning aniqligi ham ortadi. Mumtoz algebrada sonlar va ular orasidagi nisbatlar o‘rganiladi. Bilamizki, sonlar orasidagi nisbatlar turli matematik operatsiyalar (amallar) orqali ifodalanadi. Mavhum algebrada esa, ixtiyoriy elementlar orasidagi nisbatlar o‘rganiladi. Bu nisbatlar esa, mavhum amallar (abstrakt operatsiyalar) orqali ifodalanadi. Odatda, pedagog matematiklar algebraik strukturalar va mavhum operatsiyalarni soddaroq qilib tushuntirish uchun quyidagi uch bosqichli tushuntirish usulini qo‘llaydilar.
1-ta’rif. Berilgan to’plamning ixtiyoriy elementlaridan tuzilgan tartiblangan juftlikka, shu to’plamning uchinchi bir elementini mos qo`yuvchi akslantirish mavjud bo`lsa, to’plamda algebraik operatsiya berilgan deyiladi.
to’plamida dekart ko`paytma berilgan bo`lsa, juftlik dekart ko`paytmadan, esa to’plamidan olingan bo`lib, dekart ko`paytma akslanadi.
Demak, to’plamda berilgan akslantirish algebrik operatsiya bo`lib, element operatsiyaning birinchi, element operatsiyaning ikkinchi komponenti, esa uning natijasi deyiladi.
2-ta’rif. Algebraik amal berilgan va bo`sh bo`lmagan to’plam algebra deyiladi. Agar natural sonlar to’plami da qo`shish amali berilgan bo`lsa, bu to’plamda berilgan algebra ko`rinishda belgilanadi. ko`rinishda berilgan algebra natural sonlar to’plamida ayirish amali bilan berilgan, butun sonlar to’plamida bo`lish amali vositasida berilgan algebralar bo`ladi. Demak, algebra berilishi uchun bo`sh bo`lmagan to’plam va unda algebraik amal berilishi lozim ekan.
Agar to’plam berilib, unda algebraik amallar berilgan bo`lsa, ular vositasida berilgan algebra ko`rinishda bo`ladi. algebra algebradan va algebraik amallari bilan farq qiladi.

ALGEBRAIK STRUKTURALAR:

1. 
   Yarimgruppa;
   
2. 
   Monoid;
   
3. 
   Gruppa;
   
4. 
   Yarim xalqa;
   
5. 
   Xalqa;
   
6. 
   Jism;
   

8. Maydon;
9. Vektor fazo.
3-ta’rif. Bo`sh bo`lmagan to’plamda * algebraik amal assotsiativ bo`lsa, algebra yarimg ruppa deyiladi.
3-ta’rif. Neytral elementga ega yarim gruppa monoid deb ataladi.
5-ta’rif. Bo`sh bo`lmagan to’plamda quyidagi xossalar o`rinli bo`lsa, algebra gruppa deyiladi:
a) to’plamning ixtiyoriy elementlari uchun munosabat o`rinli bo`lsa, ya’ni binar * algebraik amal assotsiativ bo`lsa;
b) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shunday element mavjud bo`lib, u shartni qanoatlantirsa, ya’ni to’plamda neytral element mavjud bo`lsa;
d) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shunday element mavjud bo`lib, u quyidagi shartni qanoatlantirsa, ya’ni to’plamning har bir elementiga simmetrik ele ment mavjud bo`lsa.
5-ta’rif. S = (S,+,⋅,0, 1), algebraning ixtiyoriy а, b, с elementlari uchun quyidagi ;

1. 
   a + (b + c) = (a + b) +c;
   
2. 
   a + b = b + a;
   
3. 
   a + 0 = a;
   
4. 
   a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c;
   
5. 
   a ⋅ 1 = 1 ⋅a = a
   
6. 
   a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c;
   
7. 
   (b + c) ⋅ b ⋅ a + c ⋅ a;
   
8. 
   a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0.
   

Aksiomalar o’rinli bo’lsa S = (S,+,⋅,0, 1) – yarim xalqa deb ataladi.
6 – Ta’rif. S = (S,+,⋅,0, 1) struktura amallari quyidagi;

1. 
   S to’plam qo’shishga nisbatan Abel ( kommutativ ) gruppa tashkil etadi;
   
2. 
   S to’plam kp’paytirishga nisbatan yarim gruppa tashkil etadi;
   
3. 
   Qo’shish va ko’paytirish amallari distributivlik qonunlari bilan bog’langan.
   
4. 
   Shartlar o’rinli bo’lsa unga xalqa deb ataladi.
   

7-Ta’rif. Har bir noldan farqli elementi teskarilanuvchi bo’lgan va birlik elementga ega xalqa jism deb ataladi.
8-Ta’rif. Assotsiativ, kommutativ, birlik elementga ega, noldan farqli har bir element teskarilanuvchi bo'lgan va 1 * 0 shart bajariladigan halqa maydon deyiladi
9 - Ta’rif. Agar to‘plamda aniqlangan qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari quyidagi shartlarni qanoatlantirsa, to‘plam vektor fazo deyiladi:
1) (kommutativ sharti);
2) (assosiativlik sharti);
3) shunday element mavjud bo‘lib, har qanday uchun , bu yerdagi 0 element nol element deyiladi;
4) har qanday uchun bilan belgilanadigan shunday element mavjud bo‘lib, ;
5) ;
₆₎ ;
7)
8)
bu yerda,
ALGEBRAIK STRUKTURALAR MORFIZMLARI:

1. 
   Gomomrfizm;
   
2. 
   Monomorfizm;
   
3. 
   Epimorfizm;
   
4. 
   Endomorfizm;
   
5. 
   Bimorfizm;
   
6. 
   Avtomorfizm;
   
7. 
   Izomorfizm.