Algebraik strukturalar nazariy matematikaning tarkibiy qismi o‘laroq shakllangan

Uchinchi bosqich.

Bu bosqichda biz, butun sonlar, yoki, ratsional sonlar singari, sonlarning muayyan aniq to‘plami haqida emas, balki, A to‘plam deb shartli belgilanadigan ixtiyoriy abstrakt to‘plam haqida so‘z yuritamiz. Bu to‘plamda a, b, va c bilan belgilangan elementlar mavjud. Biz, bundan boshqa qo‘shimcha tafsilotlarga e’tibor qaratmaymiz va to‘plamdagi elementlar sonining chekli yoki, cheksiz ekaniga aniqlik kiritmaymiz. Keling, ushbu to‘plam elementlari ustidan biz # operatsiyani aniqladik. Biz bu operatsiyani # o‘rniga istalgan boshqa belgi bilan, aytaylik $, ^ bilan belgilashimiz, yoxud, o‘zimiz fantaziyamizdan kelib chiqib biror yangi belgi o‘ylab topishimiz ham mumkin. Bunda eng muhimi, +, − yoki, ∙ singari boshqa amallarni ifodalovchi belgilarni qo‘llab, chalkashlik keltirib chiqarmasak bo‘lgani. Kimdir, bunday belgilash kiritish orqali tushunchani yanada murakkablashtirib yuborish haqida e’tiroz bildirishi mumkin. Biroq, tushunishga oson bo‘lishi uchun shunday misol keltirishimiz mumkin: aytaylik, tasavvur qiling, A to‘plam elementlari bu – futbolkalar bo‘lsin. Futbolkani ishlab chiqaruvchidan tortib, to yakuniy iste’molchiga yetib borgunicha kechadigan jahon bozoridagi harakatini ifodalovchi murakkab moliyaviy operatsiyalarni umumlashtirib yagona # belgisi bilan ifodaladik. Bunda, # ostida ham ishlab chiqarishga sarflangan xom-ashyo va ishchi kuchi sarfi, mahsulotni fabrikadan do‘konga eltish xarajatlari, reklama, chegirmalar va ho kazolar uchun xilma-xil moliyaviy operatsiyalar bajariladi. Lekin ushbu operatsiyalarning barchasi bitta element – futbolka yuzasidan bormoqda va shuning uchun biz ularni umumiy qilib # bilan belgilashimiz mumkin. Bunda, biz to‘plam uchun aniqlagan operatsiyamiz uchun qo‘yilgan yagona talab shuki, u to‘plam ichida istalgan element uchun umumiy, ya'ni, to‘plam uchun ichki operatsiya bo‘lishi kerak. Sodda qilib aytganda, futbolka va futbolka bilan bajarilgan operatsiya natijasida bir quti shirinlikka emas, balki, faqat va faqat futbolkaga taalluqli natija chiqishi kerak. Matematik tilda bu narsani a va b sonlari A to‘plamga tegishli bo‘lsa, unda a#b amal (operatsiya) natijasi ham albatta A to‘plamga tegishli bo‘lishi lozim deb ta’riflanadi. Aniqroq matematik misol ko‘radigan bo‘lsak, tasavvur qiling, biz barcha toq sonlardan iborat to‘plamni ko‘rib chiqmoqdamiz. Bu to‘plam elementlari uchun qo‘shish amali ichki amal (ichki operatsiya) bo‘lolmaydi. Chunki, to‘q son bilan toq sonni qo‘shganda, yig‘indi hech qachon toq son bo‘lmaydi va shunga muvofiq, toq sonlar to‘plamiga mansub bo‘la olmaydi.

A to‘plamdagi istalgan a, b, va c elementlari uchun (a#b)#c= a#(b#c) shart bajarilsa, unda # amali ushbu A to‘plam uchun assotsiativlik xossasiga ega bo‘ladi.

Ushbu to‘plam uchun e#a=a#e=a natijani beradigan e elementini neytral element deb nomlaymiz.

Shuningdek, a⁻¹#a=a#a⁻¹=e shartni qanoatlantiradigan a⁻¹ elementni teskari element (yoki, qarama-qarshi element) deb nomlaymiz.

Hozircha biz, ushbu operatsiya kommutativlik xossasiga ega bo‘lishi lozimligini aytmadik. Kommutativlik bu shunday xossaki, operatsiyani (amalni) bajarish jarayonida elementlarning joylashuv o‘rnini e’tiborga olish shart bo‘lmasa, bu operatsiyani kommutativlikka ega operatsiya deyish mumkin bo‘ladi. Ya'ni, kommutativ operatsiyada, elementlarning tartibining o‘zgarishi, yakuniy natijaga hech qanday ta’sir o‘tkazmaydi. Biroq, to‘plam uchun neytral va teskari elementlarni aniqlashda kommutativlikka katta ahamiyat berish lozim. Agar A to‘plam va u uchun biz aniqlagan # operatsiya uchun quyidagi uch shart bajarilayotgan bo‘lsa:

1) Operatsiya assotsiativ bo‘lsa;

2) Operatsiya uchun neytral element mavjud bo‘lsa;

3) A to‘plamdagi istalgan element uchun teskari element mavjud bo‘lsa,

Unda, A to‘plam va # amal (operatsiya) dan iborat juftlik guruh deb nomlanadigan algebraik strukturani tashkil qiladi. Masalan, butun sonlar to‘plami va qo‘shish amali bitta guruhni tashkil qiladi. Biz avvalgi bo‘limda butun sonlar to‘plami va qo‘shish amali uchun barcha uch shart bajarilayotganini aniq misollar bilan ko‘rib chiqqan edik. Matematikada bu guruhni (ℤ,+) tarzida belgilab ifodalanadi. Chunki, odatda matematiklar butun sonlar to‘plamini ℤ harfi bilan belgilaydilar. Shuni alohida ta’kidlab aytish kerakki, matematikada guruh bu – ikkita obyekt – to‘plam va operatsiya (amal) orqali shakllangan strukturadir. Masalan, ℤ to‘plamning o‘zini ko‘rsatib, lekin, unga taalluqli va yuqoridagi uch shartni qanoatlantiradigan amalni ko‘rsatmasdan turib, uni guruh deb aytish mumkin emas. Chunki, butun sonlar to‘plami (ℤ) bilan faqat qo‘shish amali guruh hosil qiladi. ℤ bilan ko‘paytirish amali guruh hosil qila olmaydi. Chunki, ℤ to‘plamda elementlarni ko‘paytirish ∙ amali uchun teskari element mavjud emas. Sababi, butun sonlar to‘plamiga kasr sonlar kirmaydi.

Agar, yuqorida qayd etilgan uch shartdan tashqari, A to‘plamdagi istalgan a va b elementlar uchun yana shuningdek a#b=b#a shart (to‘rtinchi shart) ham bajarilsa, unda guruh kommutativ guruh deyiladi. Shunga muvofiq, (ℤ,+) guruh kommutativ guruhdir.