Algoritmlarni loyihalash fanidan Mustaqil ish. Bajardi: Vapayeva Gulasal Tekshirdi: Usmonov Alisher

2-teorema. Chiziqli tenglamalar sistemasi o‘zining bazis tenglamalar
sistemasiga ekvivalent.
ai1 x1  ai 2 x2 L  ain xn  bi , i 1,2,...,r
(5)
bazis tenglamalar sistemasi berilgan (1) sistemaga ekvivalent. Shuning uchun

• tenglamalar sistemasi o‘rniga uning rangiga teng bo‘lgan (5) sistemani tadqiq etish yetarli.

O‘z-o‘zidan ko‘rinadiki matritsaning rangi ustunlar sonidan katta emas, ya’ni
r  n . Boshqacha aytganda birgalikdagi sistemaning rangi noma’lumlar sonidan oshmaydi.
Bu yerda ikki hol bo‘lishi mumkin:

• r  n ;

r  n , ya’ni bazis sistemada tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lsin.

Ab
b b
det( A )  0 A
Bazis sistemani quyidagicha ifodalaymiz Ab X  Bb . Bunda bazis minorga mos
1
matritsa. bo‘lganligi sababli, mavjud va
X  EX  A1 A X  A1(A X )  A1B
b b b b b
tenglik yagona yechimni ifodalaydi.
2) r  n bo‘lsin. Tenglamalarda x1 , x2 ,..., xr bazis noma’lumlar qatnashmagan barcha hadlarni uning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz. U holda (5) sistema:
ai1x1  ai 2 x2 L  air xr  bi  air1xr1 L  ain xn . (5)
ko‘rinishni oladi.
Agar erki xr , xr1 ,..., xn noma’lumlarga biror r 1,...,n sonli qiymatlarni bersak,
x1,..., xr
u holda o‘zgaruvchilarga nisbatan tenglamalar sistemasini olamiz va bu
sistemada noma’lumlar soni asosiy matritsa rangiga teng bo‘lganligi sababli u yagona yechimga ega. Erkli noma’lumlar qiymati ixtiyoriy tanlanganligi sistemaning umumiy yechimlari soni cheksiz ko‘p.
Izoh: Shunday qilib:
1). rangA  rangA bo‘lsa, tenglamalar sistemasi birgalikda emas;
2). rangA  rangA  r  n
bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga
ega;
bo‘lsa, tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p
3). rangA  rang A  r  n
yechimga ega.
Fan va texnikadaning koʻp sohalarida boʻlganidek, iqtisodiyotning ham koʻp masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi.
6-misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab
chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari quyidagi jadvalda berilgan.

Xom ashyo turlari	Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari			Xom ashyo zahirasi
	A	B	C
1	5	12	7	2000
2	10	6	8	1660
3	9	11	4	2070

Berilgan xom ashyo zahirasi toʻla sarflansa, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish hajmini aniqlashning matematik modelini tuzing.
Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak boʻlgan mahsulotlar hajmini mos ravishda
x1, x2 , x3 lar bilan belgilaymiz. Bir birlik A turdagi mahsulotga, 1-xil xom ashyo sarfi
5 birlik boʻlganligi uchun 5x1 A turdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1- xil- xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday B va C turdagi mahsulotlarni
ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda 12x2 , boʻlib, uning uchun quyidagi tenglama oʻrinli boʻladi:
5x1 12x2  7x3  2000 .
Yuqoridagiga oʻxshash 2-, 3-xil xom ashyolar uchun
10x1  6x2  8x3  1660,
9x1 11x2  4x3  2070
7x3
tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlaridan quyidagi uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu masalaning matematik modeli quyidagi uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat boʻladi:
5x1 12x2  7x3  2000,
2 3
9x 11x  4x  2070.
 1

10x1  6x2  8x3  1660,
21 1 22 2 2n n 2
3.Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.
Determinantlarni chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga tatbiqi bo‘lgan Kramer (determinant) usuli bilan tanishamiz. Aytaylik, bizga n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:
a11 x1  a12 x2  ......  a1n xn  b1
a
x  a x  .....  a x  b


...............................................
an1 x1  an 2 x2  .....  ann xn  bn
(6)
Bu yerda x1, x2 ,..., xn noma’lumlar, a11,a12 ,..., ann koeffitsientlar,
b1,b2 ,...,bn ozod sonlar.
1
2 n
1
  0 , x 
x
2 n

, x  x , ..., x  x
 

Teorema 1.6. Agar (1.4.1)- tenglamalar sistemasining asosiy determinanti noldan farqli bo‘lsa, u holda sistema yagona yechimga ega bo‘ladi va u quyidagi formulalardan topiladi .
(7)
  0
Bu Kramer formulasidan iborat. Bu yerda ga bosh determinant,
1 2 3 n
x x x
x
 ,  ,  ,..., 
larga yordamchi determinantlar deyiladi. Soddalik uchun uch
noma’lumli, uchta chiziqli tenglamalar sistemasini qaraymiz:
a11x  a12 y  a13 z  b1
21 22 23 2
32 33 3
a x  a y  a z  b
a x  a y  a z  b
 31

(8) (1.4.3)
a31 a32 a33
uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda dastlab bosh (asosiy) determinant
a11 a12 a13
 a21 a22 a23
(9)
  0
topiladi. bo‘lsin. Undan so‘ng yordamchi determinantlar hisoblanadi
(bunda bosh determinantning ustun elementlari mos ravsihda ozod hadlar bilan almashtiriladi):
b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1
x  b2 a22 a23 ,  y  a21 b2 a23 ,
b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b3
z  a21 a22 b2
(10)
Noma’lumlar quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:
x  x , y   y , z  z
  
(11)