Algoritmlash va tadbiqiy dasturlash

Lagranj interpolyatsiyalash ko‘phadi
Aytaylik, [a;b] kesmada _n to‘r kiritilgan bo‘lib, y=f(x) funksiyaning undagi qiymatlari (5.1) ko‘rinishda berilgan bo‘lsin. Bu yerda interpolyatsiyalash ko‘phadi L_n(x) ni qurishning Lagranj usuli bilan tanishamiz. Interpolyatsiyalash masalasini qo‘yilishiga ko‘ra:
L_n(x_i)=y_i; (i=0, 1, 2,.., n).

Bu geometrik jihatdan quyidagi rasmda tasvirlangan

Avvalo, quyidagi oddiy masalani qaraylik, shunday ko‘phad qurilsinki, u

P_i(x_i)=1; P_i(x_j)=0; ij (5.4)
shartlarni qanoatlantirsin.
Qurilishi talab qilingan P_i(x) ko‘phadlik (5.4) shartga ko‘ra x_i ij nuqtalarda nolga aylanishi kerakligidan
P_i(x)=S_i(x-x₀)…(x-x_i-1)(x-x_i+1)… (x-x_n)

ko‘rinishda olish tabiiydir. Oxirgida x=x_i desak, (5.4) shartga ko‘ra

kelib chiqadi. Buni hisobga olsak, asosiy masalani, ya’ni L_n(x) ko‘phadni qurish masalasini osongina hal qilish mumkin. Buning uchun L_n(x)ni

ko‘rinishda qidiramiz. Agar oxirgida x=x_k desak,

ekanligidan oxirgi natija

yoki
(5.5)

kelib chiqadi va u Lagranj interpolyatsiyalash ko‘phadi deb yuritiladi.
Demak Lagranj interpolyatsiya ko‘phadi (5.5) ni umumiy holda quyidagicha yozishimiz mumkin:

,
(5.5’)
Lagranj interpolyatsiyalash ko‘phadi n=3 bo‘lganda quyidagicha yoziladi:

5.1-masala. Quyidagi y=lnx funksiya asosida uzilgan

X	2	3	4	5
Y	0.6931	1.0986	1.3863	1.6094

jadvaldan foydalanib Lagranj interpolyatsiya ko‘phadini toping va bu ko‘phadlar yordamida ln3.5 ni hisoblang.
Yechish.

=0.0089 X³-0.1387X²+0.9305 X-0.6841

Hosil bo‘lgan ko‘phadga asosan
ln3,5L(3,5)=0.0089·(3.5)³-0.1387· (3,5)²+0.9805· (3.5)-0.684=
=0.31-1.701+3.2567-0.6841=1.25145
bo‘ladi.