Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi

3.5.  teorema  (yagonalik):  Faraz  qilamiz, 





y

x

u

u

,

,

2

1

  shunday  funksiyalar  bo’lsinki, 

ular uchun 

 













 













 













 















































D

E

y

x

i

const

C

y

x

u

L

y

x

y

x

y

x

u

u

D

E

y

x

y

x

u

y

x

u

D

E

C

u

D

E

C

y

x

u

u

i

i

\

,

;

2

,

1

,

,

4

,

,

,

,

,

3

\

,

,

,

,

2

\

,

\

,

,

1

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1



 

U holda 

D

E \

2

 fazoda 









y

x

u

y

x

u

,

,

2

1



 bo’ladi. 

Isbot: 

Faraz 

qilamiz, 

2

1

u

u

u





. 

Unda 

v 

uchun: 













2

1

,

,

,

,

0

,

c

c

C

y

x

v

L

y

x

y

x

v











.  Isbot qilamizki, 









D

E

y

x

y

x

v

\

,

,

0

,

2





.  

142 

 

Teskarisini 

faraz 

qilamiz: 

shunday 



 



2

*

*

*

*

*

,

,

,

E

y

x

y

x

M



 

mavjudki, 





0

,

*

*



 A

y

x

v

. U holda shunday a-ni olamizki, markazi 





0

0

0

0

,

,

z

y

x

M

 nuqtada bo’lgan 

а

L  

aylana  to’lig’icha 

D

  da  yotsin  va  shunday 

R

  tanlaymizki 

R

L

  aylana 

D

  sohani  ham   

*

M  

nuqtani ham o’zida saqlasin.  

Ushbu funksiyani aniqlaymiz: 













a

R

a

y

y

x

x

C

y

x

w

R

ln

ln

,

2

0

2

0









 

Ko’rinib turibdiki, 

1) 









D

E

C

y

x

w

R

\

,

2



 

2) 





y

x

w

R

,

 funksiya 

D

E \

2

 sohada garmonik funksiya. 

3) 

L

 chegarada 





0

,



y

x

w

R

 bo’ladi. 

4) 

R

L

 chegarada





C

y

x

w

R



,

 bo’ladi.  

Bu yerdan 







 









 























R

R

R

L

y

x

y

x

w

C

y

x

v

L

y

x

y

x

w

y

x

v

,

,

,

,

,

,

,

,

 

kelib chiqadi. 

Maksimumlar  prinsipini  qo’llab,  ichkaridan 

L

  bilan  va    tashqaridan 

R

L

  bilan 

chegaralangan 

R

LL

D

 sohada 







 



R

LL

R

D

y

x

y

x

w

y

x

v





,

,

,

,

 

ni hosil qilamiz. Bu yerdan 















 



a

R

a

y

y

x

x

C

y

x

w

y

x

w

y

x

v

R

R

ln

ln

,

,

,

2

0

*

2

0

*

*

*

*

*













. 

R

 ni cheksizlikka intiltirib, 









0

,

,

*

*

*

*







y

x

w

y

x

v

 

ni hosil qilamiz. 

Bu  esa, 





0

,

*

*



 A

y

x

v

  deb  qilgan  farazimiz  noto’g’riligini  isbotlaydi.  Demak,  





0

,



y

x

v

 ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.* 

(4) shart muhim ekanini ko’rsatuvchi misol keltiramiz: 

Misol:  

Faraz qilaylik: 

2

2

2

2

2

2

:

:

b

y

x

Д

b

y

x

D









 

Dirixlening tashqi masalasini quyidagicha qo’yamiz: 

























L

y

x

const

C

y

x

u

D

E

u

,

,

,

\

,

0

2

 

Osongina  tekshirib  ko’rish  mumkinki, 





C

y

x

u



,

1

  va 





b

y

x

C

y

x

u

2

2

2

ln

,







 

funksiyalar  berilgan  masalaning  yechimlari  bo’ladi.  Ammo 

2

u

  funksiya  hyech  qanday 

143 

 

o’zgarmas  bilan  chegaralanmagan,  shuning  uchun  ham  masalaning  bunday  qo’yilishida 

yagonalik buzilyapti. 

2.  Neymanning ichki masalasi.  

Ta’rif:

 Agar 

3

E  fazoda aniqlangan 





z

y

x

u

,

,

 funksiya quyidagi 3 ta [3.4] masalaning 

shartlarini qanoatlantirsa, shunda  u Neyman ichki masalasining yechimi deyiladi: 

[3.4]   

 





 

 

 









 







 











































z

y

x

z

y

x

z

y

x

n

u

z

y

x

z

y

x

u

C

u

C

z

y

x

u

,

,

,

,

,

,

,

3

,

,

,

0

,

,

2

,

,

,

1

2

1



  

Shunga  diqqatingizni  qaratingki, 

u

  funksiya 

   sohada    va  uning  1-tartibli 

hosilasilalari bilan birgalikda uzluksiz bo’lishi kerakligi talab qilinmoqda, va bu bilan Dirixle 

masalasidan  farq  qiladi.  Chunki,  Dirixle  masalasida  faqat 

u

  funksiyaning  uzluksizligi  talab 

etilgan edi. 

3. Neymanning ichki masalasi yechilishi uchun zaruriy shartlar. 

Faraz  qilamiz, 

u

  funksiya  [3.4]  masalaning  yechimi  va 

v

  –  ixtiyoriy  ikki  marta 

differensiallanuvchi  funksiya  bo’lsin.  Bu  funksiyalar  uchun  Grinning  2-formulasini 

qo’llaymiz: 















































d

n

u

v

n

v

u

d

u

v

v

u

 

1



v

 bo’lganda quyidagi hosil bo’ladi: 





















0

,

,





d

z

y

x

v

d

n

u

 

 

 

(3.6) 

(3.6) tenglik Neyman ichki masalasining yechilishi uchun zaruriy shart deyiladi. 

Neyman masalasi yechimining yagonaligini isbotlaymiz. Osongina ko’rish mumkinki, 

agar 

u

  funksiya  ([3.4])  masalaning  yechimi  bo’lsa,  unda 





const

u 

  ham  yechimdir.  Buni 

trivial bir qiymatli emaslik deb ataymiz. 

Faqat shunday bir qiymatli emaslik bo’lishi mumkinligini isbotlaymiz.  

4.  Yechimning yagonaligi. 

3.6. teorema (yagonalik teoremasi): Faraz qilamiz, 





2

,

1

,

,

,



i

z

y

x

u

i

 uchun: 

1) 

 





1

C

u

i

 

2) 



 sohada 

i

u  garmonik funksiya 

3) 







 













z

y

x

z

y

x

z

y

x

n

u

,

,

,

,

,

,

,



 

o’rinli. 

U  holda 

const

u

u





2

1

(bu  shuni  bildiradiki, 

0



v

  da,  faqatgina  trivial  yechim 

mavjud). 

Isbot:  Grinning  1-formulasini  ixtiyoriy  ikki  marta  differesiallanuvchi 

u

  va 

v

  

funksiyalar uchun yozamiz: 

 



























d

n

v

u

d

u

grad

v

u

2

 

2

1

u

u 

 funksiya [3.4] masalaning 

0



v

 bo’lgan holdagi yechimidir. Grin formulasida 

2

1

u

u

v

u







 deylik. Unda  

144 

 



















































const

u

u

u

u

d

u

u

u

d

n

v

u

d

u

grad

v

u

z

y

x

z

y

x

0

0

2

2

2

2







 

Teorema isbotlandi.* 

5. Laplas tenglamasi uchun Grin funksiyasi va uning xossalari. 

3

E   fazoda  aniqlangan  garmonik 

u

  funksiya  uchun  Grinning  3-formulasini  yozib 

olamiz: 

 

 









































P

MP

MP

d

R

n

P

u

n

u

R

M

u





1

1

4

1

 

 

(3.7) 

Bu yerda - 









M

P

,

. 

Demak  biz 

 

M

u

  funksiya  uchun  ifoda  oldik.  Uni  Dirixle  va  Neyman  masalalari  uchun 

qo’llashga  harakat  qilamiz.  Grinning  2-formulasini  yozib  olamiz.  Bunda 

v

  fuknsiya 



 

sohada garmonik bo’lgan funksiya: 



























d

n

v

u

d

u

grad

v

u

2

 

u

 va 

v

 funksiyalar garmonik, demak,  

 

 









































0

1

P

MP

d

R

n

u

P

v

n

v

P

u



 

 

 

(3.8) 

(3.7) formuladan (3.8) formulani ayirib, 

 

 

 

 

 

























































P

MP

d

P

v

R

n

P

u

P

n

v

P

u

M

u







4

1

4

1

 

ni hosil qilamiz.  





 

P

v

R

P

M

G

MP







4

1

,

 deylik. 

Unda  

 





 

 

































P

d

P

M

n

G

P

u

P

n

v

P

M

G

M

u



,

,

 

Demak, 

 

M

u

 funksiya uchun ixtiyoriy garmonik funksiya ishtirok etgan yangi formula hosil 

qildik. Uni o’zgartirib, turli yechimlarni hosil qilish mumkin. 

Misol: 

1) Agar 

0







P

G

 bo’lsa, u holda 

 

 

















P

d

P

M

n

G

P

u

M

u



,

 

Biz [3.1] Dirixle masalasining yechimi uchun formula hosil qildik: 

2) Agar 

,

0

~

:

~











P

n

G

G

 bo’lsa, u holda 

 





 











P

d

P

n

v

P

M

G

M

u



,

~

 

Biz [3.4] Neyman masalasi yechimi uchun formula hosil qildik. 

Demak, biz Dirixle va Neyman masalalarini yechishni ularga mos Grin funksiyalariga 

olib kelib soddalashtirishga, osonlashtirishga erishdik. Endi lo’nda ta’rifdan beramiz.