Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi

2. Potensiallar xossalari. 

Endi  zichligi  1  ga  teng  bo’lgan  potensial  ifodasini  bilgan  holda  bizning  boshlang’ich 

potensialimizning ba’zi xossalarini chiqaramiz.  

Buning uchun quyidagi ta’rif kerak bo’ladi. 

Ta’rif  







l

P

dl

M

P

F

,

 

158 

 

Integral   

L

M 

0

  nuqtada  tekis  yaqinlashuvchi  deyiladi,  agar   





0

0

M

V









  −M

0

 

nuqtaning  atrofii    va 

L

l 

yoy  shunaqakim, 







l

P

dl

A

P

F

,

integral





0

M

V

A 



 

yaqinlashuvchi bo’lsa va   











P

l

dl

A

P

F

,

.  

Quyidagi teoremadan isbotsiz foydalanamiz. 

Teorema: 3.7 





M

P

F

,

  funksiya 

M

P 

  hamma  nuqtalarda  uzluksiz  bo’lsin.  Shunda 







l

P

dl

M

P

F

,

integral tekis yaqinlashadigan nuqtalarda uzluksiz funksiyadan iborat bo’ladi.  

L chegarada  M

0

 nuqtani olib  

 



  

M

u

M

f

M

u

e

0



 funksiyani ko’rib chiqamiz. 

Teorema: 3.8 

(3.12)  dagi 

 

P

f

  funksiya  M

0

  nuqtada  uzluksiz  bo’lsa 

 



  

M

u

M

f

M

u

e

0



  funksiya  M

0

 

nuqtada uzluksiz bo’ladi. 

Isbot:  

 



  





 













 

 

































L

P

L

L

P

P

e

dl

рмр

n

MP

P

f

P

f

dl

рмр

n

MP

M

f

dl

рмр

n

MP

P

f

M

u

M

f

M

u

,

cos

,

cos

,

cos

13

.

3

0

0

 

Bizning  funksiyamiz  uzluksizligidan 

0







  M

0 

nuqtaning  shunday  atrofi  mavjud  ekanligi 

kelib chiqadi. U yerda 

 











0

m

f

P

f

  

Demak  markazi  M

0

  nuqtada  bo’lgan  qutb  koordinatalariga  o’tib    biz  tomonimizdan  egri 

chiziqga qo’yilgan shartlarda  

 









 













2

,

cos

0

0



















L

L

L

P

d

d

M

f

P

f

dl

рмр

n

MP

M

f

P

f

 

hosil qilamiz. 

Teorema isbotlandi. 

Endi 

 

M

u

P

  funksiya  uchun  (3.15)  formuladan  foydalanib  teorema  da’vosini  hisobga  olib 

 

M

u

 funksiya M

0 

nuqtadagi ko’rinishi 

  



0

M

f

M

u

e

 

fnksiyaningg  ko’rinishiga teng ekanligini hosil qilamiz. 

Biz  birinchi natijani hosil qildik. 

1.Natija 





 

M

u

М

u

D

M

M

M

ich









0

lim

0

 





 

M

u

М

u

D

M

M

M

tash









0

lim

0

 

Shunda  





 





;

lim

0

0

0

M

f

M

u

М

u

D

M

M

M

ich













 





 





0

0

0

lim

M

f

M

u

М

u

D

M

M

M

tash













 

Shunday qilib, potensialni konturda shunday tasvirlash mumkin. 

159 

 













2

0

0

0

М

u

М

u

M

u

tash

ich





 

Natija 2. 

agar 

 

P

f

 funksiya L uzluksiz bo’lsa, u(M) funksiya 

L

M 

uzluksiz bo’ladi. 

Isbot.  

Biz konturda 

   

 

 



  

 

M

M

u

M

f

M

u

M

f

M

u

M

f

e

e











0

;

 

Uzluksiz funksiyaga ega bo’lamiz. Shunda u(M) funksiya quyidagi ko’rinishga keladi. 

 

 

 

M

M

f

M

u









 

3. Dirixlening ichki masalasini Fredgolmning 2-chi turdagi integral sistemasiga keltirish. 

Dirixlening ichki masalasini E

2

 da qaraymiz. 

 





 

 









 







 























.

,

,

,

3

;

,

;

0

,

2

;

,

1

L

y

x

y

x

y

x

u

D

y

x

y

x

u

D

C

y

x

u



  

Yechimnm ikki qatlam potensialli ko’rinishda izlaymiz. 

 



M

u

 





рмр

n

MP

P

f

L

,

cos 



    

Bo’lsin. 

Shunda birinchi  shart bajariladi. 

 

P

f

 funksiyani o’zgartirib ikkinchi va uchinchi shartlarni 

hosil qilamiz. 

 

 

 

















,

,

;

,

L

M

M

u

D

M

M

u

M

u

ich

 

Yangi funksiya kiritamiz. Bu yerda 

 

 

.

lim

A

u

M

u

D

A

D

A

tash









 

Hosil  qilingan  funksiya  D  da  garmonik  bo’lishini  tekshirish  oson.  Uchinchi  shartni  hosil 

qilish uchun 3.8 teoremadagi birinchi natijadan foydalanamiz. Shunda  

 

 

 





 

 

 

 





 

L

M

M

dl

рмр

u

MP

P

f

M

f

L

M

M

M

u

L

M

dl

рмр

u

MP

P

f

M

f

M

u

L

P

внут

L

P

внут







































,

,

cos

,

;

,

,

cos









(3.16) 

Hosil  bo’ladi.  Hosil  qilingan  tenglama  f(P)      funksiyaga  nisbatan  fredgolmaning  ikkinchi 

turdagi integral  tenglamasi deyiladi. Keyingi teoremani isbotsiz qabul qilamiz. 

4. Teorema 3.9 (Fredgolm alternativasi ). 

Agar  bir  jinsli  integral  tenglama  (3.16)(ya’ni 

 





0



M



)  faqat  0li  yechimga  ega  bo’lsa 

shunda  va  faqatgina  shu    holda  fredgolmaning  ikkinchi  turdagi  integral  tenglamasi 

yagona uzluksiz yechim 

 

 

L

C

M 





  ga ega bo’ladi.  

Bu teoremadan foydalanib Dirixlening [3.5] masalasining yechimi yagonaligini isbotlaymiz.  

Ta’rif. 

Biz  L  konturda  har  qanday    ikkita  nuqtani  olganda  shu  nuqtalarni  birlashtiruvchi  kesma 

butunligicha kontur ichida yotsa, bu kontur qa’tiy qavariq deb ataladi. 

Teorema 3.10 (Yagonalik teoremasi). 

D soxa qa’tiy qavariq (L qa’tiy qavariq kontur) bo’lsin. Shunda Dirixlening 3.5 ichki masalasi 

istalgan L dagi uzluksiz 

 

M



 funksiya uchun yagona yechimga ega. 

Isbot  

160 

 

Fredgolmaning boshqa holiga muvofiq  

 

 















L

P

L

M

dl

рмр

n

MP

P

f

M

f

;

,

0

,

cos



   (3.17) 

Faqat 0 li yechimga ega ekanligini isbotlash etarli. Shunday 

L

M 

0

 

nuqtani  olamizki  unda 





 

M

f

M

f

L

M 

max

0

    bilamizki  zichligi  1  ga  teng  bo’lgan  potensial 

formulasi 3.15 ga muvofiq  





















L

P

L

M

dl

р

рм

n

P

M

M

f

M

f

;

,

,

cos

0

0

0

0

0



 

Bundan tashqari  

 

M

f

 3.17 ning yechimi bo’lgani uchun   





 













L

P

dl

р

рм

n

P

M

P

f

M

f

;

0

,

cos

0

0

0



 

bo’ladi.   Hosil bo’lgan tengliklardan 

 





















L

P

dl

р

рм

n

P

M

M

f

P

f

;

0

,

cos

0

0

0

    hosil qilamiz.  





 

L

P

P

f

M

f

M







0

0

:

 ta’rifdan hamda  





0

,

cos

0

0







P

dl

d

р

рм

n

P

M



    ekanligidan ham foydalanib 





 





L

P

P

f

M

f









0

0

   hosil qilamiz.  

P=M

0

 deb 





0

0

0







f

M

f

 

hosil qilamiz. 

Teorema isbotlandi. 

1.3.2-а. Frontal so’rov uchun savollar 

1.  Ikkilangan qatlam potensiali? 

2.  Dirixlening ichki masalasi? 

 

1.3.2-b. Blits-so’rov uchun savollar 

1.  Potensiallar xossalari? 

 

1.3.2-c. Og’zaki so’rov uchun savollar 

1.  Fredgolm alternativasi? 

2.  Yagonalik teoremasi? 

 

1.3.3. Mustaqil ish uchun topshiriqlar 

 takrorlash  va  mashqlar:  takrorlash,  o’z-o’zini  tekshirish,  tahlil,  qayta  ishlash, 

mustahkamlash, eslab qolish, chuqurlashtirish; 

 yangi  materiallarning  mustaqil  o’zlashtirish:  yangi  adabiy  va  internet  materiallar, 

konspekt qo’shimchasi; mustaqil iboralar tuzish; 

 ilmiy  xaraktyerdagi  ishlar:  muammoli  holatlar,  testlar,  savollar,  topshiriqlar  tuzish; 

topshiriqlarni bajarish. 

 

1.3.4. Kartochkalar uchun testlar 

161 

 

1.3.5. ekranga tayanch materiallarni ko’rsatish(slaydlar) 

  Prezentatsiya 

1.3.6. Tavsiya etilgan adabiyotlar 

Asosiy 

1.  Saloxiddinov M.S. Matematik fizika tenglamolari. T., «O’zbekistan», 2002, 448 b. 

2.  Mixlin S.G. Kurs matematicheskoy fiziki. M, 1968, 

3.  Sobole» SL. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1966. 

4.  Bisadzs L.V. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1976. 

5.  Bisadze      A.V.,      Kalinichenko      D.F.      Sbornik      zadach      po      uravneniyam 

matematicheskoy fiziki. M. 1977. 

 

Qo’ shi mch a 

1.  Tixonov  A.P.,  Samarskiy  A.A.  Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1968. 

2.  Koshlyakov B.C., Glipsr E.B., Smirnov M.M. Osnovnыye differensialnыye uravneniya 

matematicheskoy fiziki. M. 1962. 

3.  Vladimirov B.C. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1981. 

4.  Polojii G.11. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1964. 

5.  Petrovskiy I.G. Leksii ob uravneniyax s chastnыmi proizvodnыmi. M., 1961. 

6.  Mixlnn S.G. Leksii po lineynыm integralnыm uravneniyam. M. 1959. 

7.  Smirnov M.M. Sbornik zadach po uravneniyam matematicheskoy fiziki. 

8.  Budak      B.M.,      Samarskiy      A.A.,      Tixonov      A.N.      Sbornik      zadach      po 

matematicheskoy fizike. M. 1972. 

9.  Vladimirov  13.S,  Mixaylov  V.P.  i  dr.  Sbornik  zadach  po  uravneniyam 

matematicheskoy fiziki. M. 1974. 

 

 

1.4. O’qitish usullari qoidalari 

1.4.1. Aqliy hujum qoidalari 

 Hech qanday o’zaro baholash va tanqid; 

 Taklif etilayotgan g’oyalarni baholashdan o’zingni tiy, hatto ular fantastic va iloji yo’q bo’lsa 

ham – hammasi mumkin; 

 Tanqid qilma – hamma aytilgan g’oyalar birhirda; 

 Bayon qiluvchi gapini bo’lma; 

 Izoh berishdan o’zingni tiy; 

 Maqsad bu - miqdor; 

 Qancha  g’oyalar  ko’p  bo’lsa  chuncha  yaxshi:  yangi  va  zarur  g’oya  tug’ulishi  imkoniyati 

ko’proq 

 Agar g’oyalar takrorlansa o’ksinma,  

 Tasavvo’ringga erk ber; 

162 

 

 Senda  yaralgan  g’oyalarni  tashlama,  agal  ular  sening  nazaringda  qabul  qilingan  sxemaga 

tegishli bo’lmasa ham; 

 Bu muammo aniq usullar bilan yechiladi deb o’ylama. 

1.4.2. “Insert” texnikasi qoidalari 

 Matndi o’qib, ularda savollat tug’dirayotgan joylarni, ularni bilimlariga mos kewlayotgan va 

mos kelmayotgan joylarni qalam bilan belgilab qo’yiladi; 

 “Insert” jadvalini quyidagi belgilashlar bilan to’ldirish: 

Agar «!» bo’lsa siz o’z bilimingizga yoki siz o’ylagan fikrga to’g’ri kelayotganini o’qiyapsiz; 

Agar    «–»  bo’lsa  siz  o’z  bilimingizga  yoki  tyo’g’ri  deb  o’ylaganingizga  mutlaqo  zid 

bo’lganini o’qiyapsiz; 

Agar  «+» bo’lsa siz o’qityotganingiz siz uchun yangilik; 

Agar  «?»  bo’lsa,  siz  o’qiyotganingiz  siz  uchun  tushunarsiz  yoki  siz  bu  savolga  yanada 

ko’proq ma`lumotlar olishni istaysiz. 

 

1.4.3. Guruhlarda ishlash qoidalari 

 Hamma  o’z  do’stlarini  tinglashi  kerak,  unga  yaxshi  munosabatda  bo’lib  hurmar  ko’rsatishi 

kerak; 

 Hamma  aktiv  harakat  qilishi  lozim;  berilgan  topshiriqqa  nisbatan  birgalikda  va  javobgarlik 

bilan ishlashi kerak; 

 Har kim o’ziga kerak paytda yordam so’rashi kerak; 

 Har kim undan yordam so’ralganda yordam ko’rsatishi kerak; 

 Guruhning ish natijalarini baholashda ishtirok etishi lozim; 

 Biz  bir  kemadamiz,  o’zgalarga  yordam  berib  o’zimiz  o’rganamiz,  shuni  har  kim  tushunishi 

lozim; 

 

 

 

163