Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi
Download 8.22 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- 4. Ikkinchi tartibli o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglamalar
- 1-misol.
|
3. Misollar 1-Misol. 0
x z x x z y tenglamani yeching.
sistemani tuzamiz. So’ngra 33
y x C y x ydy xdx 2 2 2 2 , 2 1 2 1 , 0 Umumiy yechimi ) (
2 y x F z bo’ladi. 2-Misol. xy xy z yz x x xz tenglamani yeching.
sistemani tuzamiz. 1 ln
ln ,
y x y dy x dx tenglamani yechamiz, undan
1 ni topamiz. (3) ayniyatdan foydalanib xy dz xy k yz k xz k dz k dy k dx k 3 2 1 3 2 1 ni olamiz. Faraz qilaylik, masalan, 0 , , 3 2 1 k x k y k bo’lsin, bu xolda xy dz xyz xy d xy dz xyz yxz xdy ydx 2 ) ( , . So’ngra 2 2 , , 2 ) (
xy C C z xy zdz xy d . 0 ) , ( 2 2 2 z xy y x F umumiy yechimni xosil qilamiz. Chiziqli tenglamalar uchun Koshi masalasini yechimini qaraymiz ). ( ), ( ), ( 0 0 0 t z z t y y t x x
Farz qilaylik, , ) , , ( 1 1 C z y x
2
( , , ) x y z C
ikkita birinchi integral topilgan bo’lsin. U xolda ; ) ( , ) ( 2 2 1 1 C t C t
0 ) , ( 2 1
C
va izlanayotgan yechim 0 ) , ( 2 1
bo’ladi. 3-Misol. 2 x da
1 , 2 y z xy z y z y x z x Koshi masalani yeching. dx dy dz x y z xy sistemani tuzamiz.
tenglamani yechimini izlasak, quyidagilarni xosil qilamiz: 34
1 1 ln | | ln | | ln ,
x y C C y . Endi dx dz x z xy tenglamani qaraymiz. xy z dz xy z k yz k xz k dz k dy k dx k ) ( 3 2 1 3 2 1 ayniyatni tuzamiz. 0 ,
3 2 1 k x k y k bo’lsin, u xolda xy z dz xy xy z dz xy xy d xy z dz xy xdy ydx ln 2 1 , 2 ) ( , 2 . ydx xdy dt t xy , almashtirish kiritamiz.
2
ln ln 2 1 , ln 2 1
t z t t z dz t ni xosil qilamiz, bundan
xy z y x t z t C 2 2 2 2 ni topamiz. 0 , 2 2 xy z y x y x F umumiy yechimni xosil bo’ladi. 2
da 1 2 y z Koshi masalani qaraymiz
; 1 2 4 , 2 2 2 2 1 C y y y C y
. ) 1 ( 4 , 2 2 2 2 1 C y y C y
4. Ikkinchi tartibli o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglamalar
Ikkinchi tartibli xususiy xosilali tenglama yuqori tartibli xosilalarga nisbatan chiziqli deyiladi, agar bu tenglama faqat birinchi tartibli xosilalarni o’z ichida saqlasa. ) . ( y x u u funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli xususiy xosilali differensial tenglama quyidagi umumiy ko’rinishga ega: 2 2 2 2 2 ( , ) 2 ( , )
( , ) ( , , ,
, ) 0. u u u u u a x y b x y c x y F x y u x x y y x y (1) Agar
0 2 ac b bo’lsa , (1) tenglama giperbolik tipdagi tenglama (to’lqin tenglama) , 0 2
ac b bo’lsa, parabolik tipdagi tenglama (issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi), 0 2
ac b bo’lsa, elliptik tipdagi tenglama (starsionar tenglama). (1) tenglamani yangi va o’zgaruvchilarga formulalar bo’yicha o’tish yo’li bilan kanonik ko’rinishga keltirish mumkin.
35
va
o’zgaruvchilari bo’yicha beriglan xosilalarni, va o’zgaruvchilar bo’yicha xosilalarga almashtiramiz. Matematik fizik tenglamalar kursi uchun xarakterli belgilashlarni kiritamiz: . , , , , 2 2 2 2 2
u u y x u u x u u y u u x u u yy xy xx y x
U xolda yy yy y y y y yy xy xy y x x y y x y x xy xx xx x x x x xx y y y x x x u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u 2 2 , 2 2 2 ) ( 2 ,
larni olamiz. ) , ( y x va
) , ( y x funksiyalarni topish uchun , 0
( 2 ) ( 2 2 dx c bdxdy y d a (2) xarakteristik tegnlama qaraladi, u ikkita tenglamalar sistemaga teng kuchli: 2 2 . dy b b ac dx a dy b b ac dx a (3) (2) egri chiziqli integral tenglamalar (1) tenglamaning xarakteristik tenglamalari deb ataladi. Giperbolik, parabolik va eliptik tipdagi tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltirishni qaraymiz. 1.Agar (1) tenglama giperbolik tipda bo’lsa, (3) tenglamalarning birinchi integrallari 2 2
1 ) , ( , ) . (
y x C y x
xaqiqiy va har xil. Ular (1) tenglamaning xaqiqiy xarakteristikalari ikkita turli oilasini aniqlaydi . ) , ( ), . ( 2 1 y x y x o’garuvchilarni almashtirish yordamida, (1) tenglama giperbolik tipdagi tenglamani quyidagi kanonik ko’rinishiga keltiriladi. ( , , ,
, )
u u u
, o’zgaruvchilarni almashtirish yerdamida boshqa ) ,
, , ( u u u u u
36
kanonik ko’rinishga keltiriladi. 1-misol. 0 2 2 yy xx u y u a tenglamani kanonik ko’rinishga keltiring.
0 0 2 2 2 2 2 y x y x ac b bo’lgani uchun, bu giperbolik tipdagi tenglama ekanligini aniqlaymiz. Xarakteristik tenglama tuzamiz: 0 )
( 0 ) ( ) ( 2 2 2
xdy ydx xdy dx y dy x
Ikkita 0 ) ( , 0 ) (
xdy ydx xdy difrensal tenglama xosil qilamiz. O’zgaruvchilarni ajratib va interallab quyidagi ko’rinishga kelamiz: 2 1 ln ln ln , 0 ln ln ln , 0 C y y x dx y dy C y y x dx y dy Potensiallashtirgandan keyin, ikki oila xarakteristikalar uchun tenglamalarni topamiz: 2 1
C x y C xy . Endi yangi o’zgaruvchidarni kiritamiz. x y xy ,
Yuqorida keltirgan fomulalardan foydalanib, eski o’zgaruvchilar bo’yicha xususiy xosilalarni yangi o’zgaruvchilar bo’yicha xususiy xosilalar orqali ifodalaymiz: . 2
2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 1 3 4 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 u x y u x y u x y u y u x y x y u x y yu y u x y yu u x y x y u u y u u u u x xu u u u u x y yu u u u x x x y xx y y y x x x u x u u x u x xu x u x xu x u u x u u x u y y y y yy 2 2 1 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) (
Berilgan tenglamaga ikkinchi xosila uchun topilgan ifodalarni qo’yib 0 ) 1 2 ( ) 2 2 ( 2 2 2 3 4 2 2 2 2 2 u x u u x y u x y u x y u x y u y x
37
ni olamiz. Oxirgi ifodani soddalashtirib, 0 2 1
u u
kanonik ko’rinishga kelamiz. 2. Agar (1) parabolik tipdagi tenglama bo’lsa, u xolda (3) tenglamalar ustma-ust tushadi. Bu xolda (3) sistema uchun bitta
) , (
birinchi integralini xosil qilamiz.U xolda o’zgaruvchilarni ) ,
), , ( y x y x formula bo’yicha amalshtirib olamiz, bu yerda ) ,
y x -ni
0
y x x
shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiya, ya’ni funksional determinant –yakobian–nolga teng bo’lmasligi lozim. Download 8.22 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|