Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi
Download 8.22 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- 4. Mavjudlik teoremasi Teorema 1.3. (mavjudlik)
|
3. Shturm – Liuvill masalasi
Quyidagi masalani qaraymiz. . 0 ) ( ) 0 ( ; 0 , 0 ) ( ) (
X X l x x X x X
Shturm – Liuvill masalasining trivial bo’lmagan yechimlarni topamiz.
Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun yechimni chiqarishda, quyidagi xos qiymatlar va ularga mos xos funksiyalar to’g’ri keladi (buni bizlar keyinchalik ko’rsatamiz): 2 ( ) ; ( )
sin( ), 1, 2,... n n n n X x x n l l
Topilgan n larni ) (t T uchun tenglamaga qo’yamiz: ), sin(
) cos(
) ( 0 ) ( ) ( ) ( 2 at l n b at l n a t T t T a l n t T n n n n n
bu yerda n a va n b lar qandaydir o’zgarmaslar.
Shunday qilib (1), (2) shartlar qanoatlantiradigan ) ( ), ( t T x X n n funksiyalarni topdik.
)
) ( ) , (
T x X t x v n n n deb olamiz. Ravshanki, bu funksiya uchun ham (1), (2) shartlar bajariladi.
(3), (4) shartlardan n n b a , konstantalarni
1 ) , ( ) , ( n n t x u t x u deb olamiz; 1 1
( , ) sin(
)[ cos(
) sin(
)]; n n n n n n n n u x t u x t x a at b at l l l
58
1 0 2 ( ) ( , 0) sin(
) ( ) sin(
) ;
n n n n n x u x a x a s s ds l l l 1 0 2 ( )
( , 0) ( ) sin( ) ( ) sin(
) l t n n n na n na n x u x b x b s s ds l l l l l
0 2 ( ) sin(
) . l n n b s s ds na l Natijada, konstantalarni topdik, endi to’la formulani yozamiz; ). sin(
] ) sin( ) ( ) sin( 2 ) sin( ) ( ) cos(
2 [ ) , ( 0 1 0
l n ds s l n s at l n na ds s l n s s l n l t x u l n l (1.6) Endi bu formula korrekt bo’ladigan shartlarni ifodalaymiz. 4. Mavjudlik teoremasi Teorema 1.3. (mavjudlik) . 0 ) ( ) 0 ( ], ; 0 [ ) ( ; 0 ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ], ; 0 [ ) ( 2 3
l C x l l l C x
bo’lsin. U holda (1.6) formula bilan aniqlanadigan ) , ( t x u funksiya quyidagi xossalarga ega: 2 ( , )
{[0; ] [0; ]}( 0)
C l t T
va (1)-(4) shartlarni qanoatlantiradi ([1.2] chegaraviy masala yechimi bo’ladi). Isbot: ]} ; 0 [ ] ; 0 {[ ) , ( 2 T l C t x u ekanligini isbotlaymiz; 0 0 ( )sin( ) { ' int
} ( )
cos( ) ( ) cos( ) 0 { ' int
} l n l n s s ds bo laklab egrallaymiz l l l n l n s s s s ds n l n l bo laklab egrallaymiz 2 2 0 3 3 0 3 3 0 ( ) sin
( ) sin 0 ( ) cos ( ) cos . 0 ( ) cos . . l l l n n n l l l l n s s s s ds n n n l l l n l n s s s s ds n l n l n l s s ds n l 59
deb olamiz. Yuqorida aytib o’tilgan xossaga ko’ra 1 2
n qator yaqinlashadi. Bundan 1 2 n n n qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqishini ko’rsatamiz:
3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 n n n n n n l a b n ab n n n n
Shunday qilib, bizda ikkala qator ham yaqinlashuvchi qatorlar, shuning uchun
1 2
n n qator majorant alomatiga ko’ra yaqinlashadi. Shunga o’xshash
0 ( )sin ' int
l n n s s ds bo laklab egrallaymiz l
0 ( )
cos ( ) cos
0 l l l n l n s s ds s s ds n l n l 2 2 0 ' int
( ) sin ( ) sin
0 l bo laklab egrallaymiz l l n l n s s s s ds n l n l
Shunga o’xshash, 1 n n n qatorning yaqinlashishini ko’rsatish mumkin.
st l n cos
ni bir bilan chegaralab, ) ,
x u uchun (1.6) qator Veyershtrass alomatiga ko’ra tekis yaqinlashadi (majorant bo’lib 1 2 2
n n na l yaqinlashuvchi qator hisoblanadi). Bundan tashqari ) ,
x u bu holda
l ; 0 ; 0 da uzluksiz.
Shunga o’xshash x bo’yicha birinchi va ikkinchi hosilalar mavjudligi va uzluksizligi uchun (1.6) formuladagi mos hosilalardan iborat qatorning tekis yaqinlashishini ko’rsatish yetarli. x bo’yicha differensiallab, quyidagilarni olamiz.
0
0 2 cos ( ) sin ( , )
cos . 2 cos ( ) sin
l x l n n n at s s ds l l l n n u x t x l l n n at s s ds na l l
2 0 1 0 2 cos
( ) sin ( , )
sin . 2 cos ( ) sin
l xx l n n n at s s ds l l l n n u x t x l l n n at s s ds na l l
U holda (Veyershtrass alomatiga ko’ra)
n n n n n n na l l n na l l n 2 2 , 2 2 1 2 1 60
qatorlar yaqinlashishini ko’rsatish yetarli. U 1 2 n n n va 1 n n n qatorlar uchun hozir isbot qilingan xossalardan kelib chiqadi. Shuning uchun o’sha mulohazalarni t bo’yicha hosilalar uchun o’tkazib, natijada
T l C t x u ; 0 ; 0 ) , ( 2 ni hosil qilamiz. Bu holda oson tekshirish mumkinki (1.6) formula bilan belgilanadigan ) , ( t x u funksiya tebranish tenglamasini qanoatlantiradi (ya’ni (1) shartni). Bunday ) , ( t x u funksiya (2)-(4) shartlarni qanoatlantirishi uni ko’rishdan quriladi – chegaraviy va boshlang’ich shartlar hisobga olingan.
Teorema isbotlandi. Shunday qilib, yechim qurildi. Ba’zi shartlarda bu yechim yagona ekanligini isbotlaymiz.
Download 8.22 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|