Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi

Induktiv  o’tish  .

n

n

u

u



1

 induksiya 

farazidan  foydalanib  ayirmani  baholaymiz: 















































































 









































d

y

n

d

y

n

K

HM

d

d

n

K

HM

n

K

HM

M

u

u

x

n

x

n

n

n

x y

n

n

n

n

n

n

n

n

0

!

2

0

!

1

3

!

1

3

2

!

3

0

0

1

2

0 0

1

2

1

2

1

1

 

 Integralni hisoblaylik. Bunda   boshlang’ich  integral  chegaralarini  qo’yishda  quyi  chegarani 

tashlab  yuboramiz.  Ularni  qo’shiluvchilari  manfiy  bo’lib,  yuqoridagi  ayirma  uchun    shunday 

bahoni  yuqori chegara asosida hosil   qilamiz: 

































!

1

3

2

2

2

2

2

!

1

3

!

1

2

!

2

3

1

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1











































































































n

y

x

K

HM

K

l

l

n

y

x

n

y

x

n

y

x

K

HM

n

y

x

n

y

x

K

HM

u

u

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

 

69 

 

Shunday  qilib 

n

u

ketma-ketlik  uchun  induksiya  farazi  isbotlangan

. 

Qolgan  ikkita  ketma-ketlik

 

uchun

 

bahoning isboti shunga  o’xshash bo’ladi. 

































!

3

2

1

!

3

!

2

!

1

3

!

1

23

!

3

1

2

1

2

0

1

2

1

2

1

1

n

y

x

K

HM

n

y

x

n

y

x

K

HM

n

y

x

n

y

x

K

HM

d

n

K

HM

n

K

HM

M

u

u

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y

n

n

n

n

n

n

n

n













































































































 

Demak ikkinchi baho  ham  to’g’ri . 

Uchinchi bahoning  isboti ham shu ko’rinishda   bo’lad , shuning uchun  uni tashlab ketamiz. 

Endi         

n

n

n

w

v

u

,

,

,        ketma  –ketliklarni  tekis  yaqinlashuvchi  ekanligini  isbotlaymiz.  Ko’rinib 

turibdiki  bunday  ketma-ketlikning  har  bir  hadini    tegishli    qatorning  qismiy  yig’indisi    shaklida  

ifodalash mumkin. 















































































n

m

m

m

n

n

m

m

m

n

n

m

m

m

n

y

x

w

y

x

w

y

x

w

y

x

v

y

x

v

y

x

v

y

x

u

y

x

u

y

x

u

1

1

1

1

1

1

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

 

Birinchi qatorning qo’shiluvchilari uchun biz bahoni isbotlagan edik. 

















.

,

,

!

1

3

!

3

,

,

2

1

2

1

2

1

1

const

a

C

n

a

C

n

l

l

K

HM

n

y

x

K

HM

y

x

u

y

x

u

n

n

n

n

n

n

n

n

n

























 

Malumki, 





1

!

n

n

n

a

c

   

qator    yaqinlashuvchi.  Bundan      Veyershtrass  alomatiga  ko’ra 

n

u ketma-

ketlikni  tekis  yaqinlashishini    hosil    qilamiz.  Qo’shiluvchilarning  uzliksizligidan  limitik    

funksiyaning    uzluksizligi   kelib  chiqadi. 

Shunga o’xshash qolgan  ikki ketma-ketlik uchun  ham  ko’rsatish  mumkin: 











 

















 







;

;

0

;

0

,

,

;

;

0

;

0

,

,

2

1

2

1

l

l

C

y

x

w

y

x

w

l

l

C

y

x

v

y

x

v

n

n













 

Endi biz  





n

da  limitni hisoblash  iterasion  jarayonini  yozishga  haqlimiz. Bu esa  ushbu 

tenglamalar  sistemasining  yechimi bo’lgan   

w

v

u

,

,

  funksiyalarning   mavjudligini  bildiradi. Bu    

tenglamalar  sistemasini      boshlang’ich    [1.4]  ga    ekvivalent  deb  olsak  teorema  butunlay  

isbotlanadi. Teorema isbotlandi. 

 

3.  Malumotlar xarakteristikalarda berilgan 

 masalaning yagonaligi. 

Shunday  qilib[1.4]  masalaning    mavjudligini      isbotladik.  Endi      uning    yagonaligini 

isbotlaymiz-ravshanki  bu  (1.8)-(1.10)  integral        tenglamalar      sistemasi      yechimining  

yagonaligiga ekvivalentdir . 

Teorema 1.6 (Yagonalik) Faraz qilaylik 

70 

 



 













 











;

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

2

2

1

1

1

y

x

w

y

x

v

y

x

u

y

x

w

y

x

v

y

x

u

 

  ikki funksiyalar sistemasi   mavjud bo’lib, ular  (1-8)-(1-10) integral 

tenglamalar  sistemasining  yechimlari      bo’lsin        va    bunda  [1.4]  tenglamaning    yechimi 

mavjudligi      haqidagi      teoremani  (1)-(4)  shartlari    bajarilgan      bo’lsin,  u  holda   











 









 











y

x

w

y

x

w

y

x

w

y

x

v

y

x

v

y

x

v

y

x

u

y

x

u

y

x

u

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

2

1

2

1

2

1













 

   funksiyalar 



 













2

1

2

1

;

0

;

0

l

l

l

l

 

to’g’ri to’rtburchakda aynan 0 ga teng  bo’ladi. 

Isbot. Shunday  qilib  



2

1

,u

u

 (1.8) integral tenglamani yechimi bo’lsin. 





 

 

 



 





 



















 

 

 



 





 

















 



 

 

























x

x y

o

y

x y

x y

d

d

u

f

d

d

w

b

v

a

x

y

y

x

u

d

d

u

f

d

d

w

b

v

a

x

y

y

x

u

0

0

2

0

2

2

2

0 0

0 0

1

1

1

1

.

,

,

,

,

,

,

,

0

,

;

,

,

,

,

,

,

,

0

,













































































  

Biridan ikkinchisini ayirib va   

 uchun Lipshis shartini  qo’llab quyidagini hosil   

qilamiz: 





























 

















x y

d

d

u

u

M

w

w

M

v

v

M

u

u

0 0

1

2

1

2

1

2

1

2

,

,

,

,

,

,





























 





















 







x y

d

d

u

M

w

M

v

M

y

x

u

0 0

,

,

,

,

















 

(1.14)  

Shunga o’xshash natija  









,

,

,

v x y

w x y funksiyalar uchun ham o’rinli: 

 





































.

,

,

,

;

,

,

,

,

0

0

















d

y

u

M

y

w

M

y

v

M

w

d

x

u

M

x

w

M

x

v

M

y

x

v

x

y

















 

Bundan ushbu   funksiyalar   P to’g’ri to’rtburchakda 0 ga tengligi   kelib  chiqishini 

isbotlaymiz.Dastlab ular



 







,

;

0

;

0

0

0

0

0







y

x

y

x

    to’g’ri to’rtburchakda 0 ga tengligini 

ko’rsatamiz. Bu yerda  

0

,

0

y

x

quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: 

















.

1

3

;

1

3

;

1

3

0

0

0

0

M

y

M

x

M

y

x

 

Faraz qilaylik: 













y

x

w

w

y

x

v

v

y

x

u

u

y

Пx

y

Пx

y

Пx

,

max

;

,

max

;

,

max

0

0

0

0

0

0







 

Umumiylikni chegaralashdan,  





w

v

u

,

max



    bo’lishini faraz qilamiz. 

 Bu holda    (1.14) tengsizlikdan quyidagi  tengsizlik kelib chiqadi: 













.

3

,

,

3

,

0

0

0

0

0

0

0

u

y

Mx

u

П

y

x

u

y

Mx

ds

u

u

u

M

y

x

u

x

y

x

y

















 

 

71 

 

 

1

3

0

0



M

y

x

 bo’lganligi sababli,  bu faqat 

0



u

  da bajariladi. Bundan ko’rinib 

turibdiki 



 

 



y

x

w

y

x

v

y

x

u

,

,

,

,

,

  funksiyalar 

o

o

y

Пx

 da aynan 0 ga teng. Keyingi 

qadamda biz  shunday  

1

x  ni  olamizki,  





























.

1

3

;

1

3

;

1

3

0

0

1

0

0

1

M

y

M

x

x

M

y

x

x

 

va uni

0

1

y

Пx

to’g’ri to’rtburchakda qaraymiz.U  holda (1.14) tengsizlik quyidagi 

ko’rinishga ega: 













 









x

x

y

y

Пx

y

x

ds

u

u

u

M

y

x

u

0

0

1

0

,

,

,

 

Oldingi    qadamga  o’xshash  harakat  qilib   



 

 



y

x

w

y

x

v

y

x

u

,

,

,

,

,

  funksiyalar

0

1

y

Пx

 to’g’ri to’rtburchakda  aynan 0 ga tengligini   hosil  qilamiz. 

     Shunday  mulaxozalarni  davom  etib,  chekli  sonli  qadamlardan  keyin  bu 

funksiyalarning

0

1

y

l

П

da 0 ga teng ekanligini ko’rsatish mumkin. 

Teorema isbotlandi. □