Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi
Download 8.22 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Gursa masala
- Ta’rif : u(x,y)
- . Xarakteristikalarda berilgan yechimning mavjudligi. Teorema [1.5]: (Mavjudlik teoremasi)
- Induksiya farazi. Faraz qilaylik
|
1.3. O’quv-metodik materiallar Ma`ruza rejasi: 1. Ma’lumotlar xarakteristikalarda berilgan masala. Integral tenglamalarning ekvivalent sistemasi. 2. Xarakteristikalarda berilgan yechimning mavjudligi. 3. Malumotlar xarakteristikalarda berilgan masalaning yagonaligi.
Tayanch iboralar: chegaraviy masala, xarakteristika, integral tenglama, tebranish tenglamasi, energiya integrali,
66
1 . Ma’lumotlar xarakteristikalarda berilgan masala. Integral tenglamalarning ekvivalent sistemasi. Quyidagi masalani qaraymiz
; 0 ), ( ) , 0 ( ) 3 ( ; 0 ), ( ) 0 , ( ) 2 ( 0 , 0 )),
, ( , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 1 ( ] 4 . 1 [ 2 2 2 1
y x y u l x x x u l x l x y x u y x f y x u y x b y x u y x a y x u y x xy
Bu giperbolik tipdagi chiziqli bo’lmagan tenglama uchun berilgan masala Gursa masalasi deb ataladi. Ilgari berilgan ta’rifga ko’ra (1) tenglamaning xarakteristikalari bu dxdy=0 tenglamani qanoatlantiruvchi funksiyalar bo’ladi. Bu esa x=const, y=const ko’rinishdagi to’g’ri chiziqlar oilasini bildiradi. Shunday qilib, bizning u(x, t) funksiyamizning x=0, y=0 xarakteristikalardagi ma’lumotlar bilan beriladi. Ta’rif: u(x,y) funksiya [1.4] masalaning yechimi deb
ataladi, agarda
] ; 0 [ ] ; 0 [ , 1 1 2 l l C y x u va (1) – (3) shartlarni qanoatlantirilsa. Berilgan masalaning yechimi mavjudligi va yagonligini bir necha etaplarda isbotlaymiz. Dastlab biz [1.4] masalani qandaydir chiziqli bo’lmagan integral tenglamalar sistemasiga ekvivalent ekanligini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, u(x,y) funksiya [1.4] masalaning yechimi bo’lsin. U holda (1) tenglamani dastlab y bo’yicha keyin x bo’yicha integrallab, quyidagini xosil qilamiz:
y y y y x x x d n x u x f d x u x b d x u x a x u y x u 0 0 0 ; )) , ( , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 0 , ( ) , (
x y x y y x y x d d u f d d u b d d u a u x u y u y x u 0 0
0 0 0 0
)) , ( , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 0 , 0 ( ) 0 , ( ) , 0 ( ) , ( (1.7).
Ikkita yangi funkiyalarni kiritamiz ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( y x u y x w y x u y x v y x
U holda, (2)-(3) boshlang’ich shartlarni qo’llab, (1.7) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: 0 0 0 0
( , ) ( )
( , 0) (0)
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ( , ))
(1.8)
Buni x bo’yicha differensiallab, quyidagini xosil qilamiz: y y d x u x f d x w x b x v x a x y x v 0 0 )) , ( , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , (
(1.9) Xuddi shunday y bo’yicha differensiallaymiz: x x d y u y f d y w y b y v y a y y x w 0 0 )) , ( , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , (
(1.10) Demak, agar u(x,t) [1.4] masalani yechimi bo’lsa u holda (1.8) – (1.10) tenglamalarini qanoatlantiruvchi v (x, t), w(x, t) funksiyalar mavjud bo’ladi. Teskarisi: (1.8) – (1.10) tenglamalarning yechimlari bo’lgan u, v,w- uzluksiz funksiyalarning mavjudligidan 67
x u w u v ; ekanligi kelib chiqadi. Shuningdek bevosita differensiallashdan u(x,t) funksiyalar [1.4] masalani yechimi ekanligini tekshirib ko’rish mumkin.
2. Xarakteristikalarda berilgan yechimning mavjudligi. Teorema [1.5]: (Mavjudlik teoremasi) Quyidagi to’rtta shart bajarilgan bo’lsin: 2 1 ; 0 ; 0 ) , ( ), , ( . 1
l C y x b y x a E l l C p y x f 2 1 ; 0 ; 0 ) , , ( . 2 ya’ni, bizlar u(x, y) funksiyani p ixtiyoriy qiymat qabul qiluvchi o’zgaruvchi bilan almashtirdik. E p p l x p p L p y x f p y x f 2 1 1 2 1 2 2 , , ; 0 , ) , , ( ) , , ( . 3 r o’zgaruvchi bo’yicha Lipshis shartidir. ) 0
) 0 ( ], ; 0 [ ) ( ], ; 0 [ ) ( . 4 2 1 1 1 l C y l C x
U holda [1. 4] masalaning yechimi mavjud. Isbot. [1.4] masala (1.8)-(1.10) ga ekvivalentligini xisobga olib, (1.8)-(1.10) ni qanoatlantiruvchi u(x,y), v(x,y), w(x,y) uzluksiz funksiyalar mavjudligini isbotlaymiz. Bu funksiyalarni iterasiyalar ketma-ketligi yordamida topamiz. Ketma-ket interasiyalar prosessini quyidagicha ko’ramiz:
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , )
0 ( , )
( ) ( )
(0) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , , ( , ))
( , ) ( )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ,
( , )) ( , )
( ) (
x n n n y x n y y n n n n n u x y v x y w x y u x y y x a v b w d d f u d d u x y y a x v x b x w x d f x u x d w x y y a
0 0 , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ,
( , )) x x n n n y u y b w y d f y u y d
Bu prosessni yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun n n n w v u , , ketma- ketliklarning hadlari orasidagi farqlarni baholaymiz. n u uchun iterasiya ta’rifidan va teoremaning (3) shartlaridan quyidagi tengsizlik kelib chiqadi:
x y n n x y n n n n n n d d u u L d d w w b v v a u u 0 0
1 0 0
1 1 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (
Faraz qilaylik: da E l l y x 2 1 ; 0 ; 0 ) , (
L y x b y x a M , ) , ( max ) , ( max max
. Shunda:
n n n n n n n n d d u u w w v v M u u 0 0
1 1 1 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( (1.11) n n w v , funksiyalar uchun ham xuddi shunday: 68
y n n n n n n n n d x u x u x w x w x u x u M u u 0 1 1 1 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( (1.12)
n n n n n n n n d y u y u y w y w y u y u M u u 0 1 1 1 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( (1.13) Iterasiya prosessining barcha elementlari uzluksiz funksiyalar bo’lganligi sababli, bundan
, , funksiya qandaydir H o’zgarmas bilan chegaralanganligi kelib chiqadi. Ketma- ketlikning nolga teng bo’lgan xadlarning ta’rifidan
1 1 1 1 1 1 , , kelib chiqadi. Buni qo’llab quyidagi ayirmani baholaymiz: ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 3 2 ) ( 3 3 3 0 1 2 2 0 1 2 0 0 2 1 2 y x HM HMx Hd M w w y x HM HMy Hd M v v y x HM HMxy d Hd M u u x y x y
Ketma – ketlikni tekis yaqinlashuvchi ekanligini isbotlash uchun majorant qator qurishga to’g’ri keladi, lekin dastlab quyidagi bahoni isbotlaymiz. ; )! 1 ( ) ( 3 ) , ( ) , ( ; )! 1 ( ) ( 3 ) , ( ) , ( ; 2 ) ( 3 ) , ( ) , ( 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 n y x K HM y x w y x w n y x K HM y x v y x v y x K HM y x u y x u n n n n n n n n n n n n n n
Bu yerda ; 2 2 1 l l K
Isbotni induksiya bilan ko’ramiz . Induksiya bazasi. Yuqorida isbotlanganidek n=2 uchun o’rinli Induksiya farazi. Faraz qilaylik n uchun o’rinli. 1
uchun isbotlaymiz . Download 8.22 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|