Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi
Download 8.22 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Riman usuli
|
Misol 2. Qo’shma operator uchun oddiy misol bu Laplas operatori hisoblanadi, masalan
da bo’ladi Bu yerda tekshirish oson.
2
) ,
y x u funksiya uchun quyidagi differensiallanuvchi operatorni qaraymiz: y x u y x c y x u y x b y x u y x a u u L y x xy , , , , , , ] [
Ta’rifga ko’ra, unga qo’shma operator quyidagi ko’rinishga ega: v y x c v y x b v y x a u v M x x xy , , , ] [
Shunday qilib, (1.15) formulada , 0 22 11 a a
, 2
21 12 a a
, 1
b
, 2
b
.
Ko’rinib turibdiki (1.16) formuladagi 2 1 , Р Р lar quyidagicha hisoblanadi: ; )
2 1 1 auv uv vu p y y
; ) ( 2 1 2
uv vu p x x
Endi Oxy tekisligida ) (x f y egri chiziq berilgan bo’lsin, va unda x lar uchun . 0
( ' x f Uning grafigini f L bilan belgilaymiz. Nuqtalari
funksiya grafigidan yuqorida yotgan yarim tekislikni
R deb belgilaymiz:
)}, ( : ) , {(
f y y x R f
Quyidagi chegaraviy masalani (shuni ta’kidlash lozimki, bu masala giperbolik tipdagi tenglama uchundir) ko’rib chiqamiz:
[1.5]
; ) , ( ), , ( ) , ( 3 ; ) , ( ), , ( ) , ( 2 ; ) , ( ), , , ( ] [ 1 f f f L y x y x y x n u L y x y x y x u R y x y x F u L
( ] [u L (1.17) formulasi bilan aniqlanadi.) Keltirilgan chegaraviy masalaning yechimini
R da izlaymiz. Uning ixtiyoriy
R y x A ) , ( 0 0 nuqtada qanday qilib xisoblanilishini ko’rsatib beramiz. Buning uchun biz
nuqtani f L egri chiziq bilan koordinata o’qlariga parralel bo’lgan kesmalar vositasida birlashtiramiz va shu orqali kesishuv nuqtalari ) , ( 0
х В va
3 E
3 3 2 2 1 1 x x x x x x u u u u u L v u M 78
) , ( 0 у х С ni hosil qilamiz. AB, AC kesmalar hamda BC yoy orasida hosil bo’lgan konturni L deb, uning ichki qismini D bilan belgilaymiz. Qo’shma differensial operator
ning (bunda v - muayan bir funksiya). (1.16) formulasidan foydalanamiz.
D D ds y p x p ds v uM u vL 2 1 Buning o’ng qismini o’zgartirish uchun egri chiziqli integrallar uchun Grin formulasidan foydalanamiz: D y x L ds P Q Qdy Pdx ) ( Bu holda quyidagiga ega bo’lamiz.
D dy p dx p ds v uM u vL 1 2 ]) [ ] [ (
(kontur qismlari koordinata o’qlariga parralel) dy auv uv vu y y C B ) ( 2 1 - dx buv uv vu x x ) ( 2 1 +
auv uv vu y y A C ) ( 2 1 dx buv uv vu x x A B ) ( 2 1 . (1.18) Ma’lumki,
dy auv uv vu y y A C ) ( 2 1 dx buv uv vu x x A B ) ( 2 1 = CA I y y A C dy auv uv vu ) ( 2 1 + BA I x x A B dx buv uv vu ) ( 2 1
Bungacha biz v funksiyani oddiygina ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiya deb belgilagan edik. Endi
0
M bo’lishini aniqroq aytganda quyidagi masalaning yechimi bo’lishi kerak: ; , } ) , ( exp{ ) , ( ) 6 ( ; , } ) , ( exp{
) , ( ) 5 ( ; , , 0 ) , ( ) ) , ( ( ) ) , ( ( ) 4 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x ds y s b y x v y y ds s x a y x v y y x x v y x c v y x b v y x a v x x y y y x xy
Bu masala [1.4] ko’rinishdagi xarakteristikalar yordamida berilgan ma’lumotlarga ega bo’lgan masaladir. Oldingi bo’lmlarda ko’rsatgan edikki uning yechimidan isbot bo’lgan va yagona bo’lgani
x, funksiya mavjud. Bu funksiya bizga ma’lum deb hisoblaymiz va aynan shu funksiyadan foydalanamiz. Birinchi boshlang’ich tenglamadan ) ,
y x F funksiyani qo’ygan holda ) ,
y x u uchun
(1.18) ifodaga qaytamiz. D ds y x F y x v ) , ( ) , ( dy auv uv vu y y C B ) ( 2 1 + dx buv uv vu x x ) ( 2 1 +
CA I I . 79
I ,
BA I integrallarda koordinatalaridan biri fiksirlanganidan foydalanamiz. ) ,
y x v
uchun (4) shartdan 0 х х bo’lsa, 0
v y bo’lishini oson aniqlash mumkin. Shunday qilib:
CA I dy auv uv vu y y A C ) ( 2 1 =
av v u vu y y A C ) ( ) ( 2 1 =
A uv uv ) ( ) ( 2 1 2 1
Xuddi shunday, 0 у у bo’lganda 0
u x ekanligini ko’rsatish mumkin. Demak,
I dx buv uv vu x x A B ) ( 2 1 = dx bv v u vu x x A B ) ( ) ( 2 1 B A uv uv ) ( ) ( 2 1 2 1 . Shunday qilib, (1.18) ifodani quyidagicha yozish mumkin.
ds y x F y x v ) , ( ) , ( dy auv uv vu y y C B ) ( 2 1 - dx buv uv vu x x ) ( 2 1 + . ) ( ) ( 2 1 2 1
С A uv uv uv Bundan ) ,
0 0
x A nuqtada ) ,
y x u funksiyasini qiymatini aniqlash mumkin:
, ( ) , ( 0 0 0 0 y x v y x u dy auv uv vu y y C B ) ( 2 1 - dx buv uv vu x x ) ( 2 1 +
С uv uv ) ( ) ( 2 1 2 1 D ds y x F y x v ) , ( ) , ( . ) , (
x v ning (5),(6) chegaraviy shatrlardan 0 0
) 1 v x y ekanligi kelib chiqadi.
U holda ) , ( 0 0 y x u dy auv uv vu y y C B ) ( 2 1 - dx buv uv vu x x ) ( 2 1 +
С uv uv ) ( ) ( 2 1 2 1 + D ds y x F y x v ) , ( ) , (
hosil bo’ladi. Bu ) , ( 0 0
x u uchun yakuniy formuladir. Konturdagi xususiy hosilalar ) ,
y x u
bizga noaniq ekanligi ko’rinishi mumkin. Ularni (2),(3) chegaraviy shartlardan topish mumkinligini ko’rsatamiz: ));
( , ( )) ( , ( ));
( , ( )) ( , ( x f x x f x n u x f x x f x u
L ga o’rinmaning birlik vektori quyidagi ko’rinishga ega: . )) ( ' ( 1 ) ( ' ; )) ( ' ( 1 1 2 2 x f x f x f
Bundan quyidagini hosil qilamiz:
2 2 )) ( ' ( 1 ) ( ' )) ( ' ( 1 1 ) , ( x f x f y u x f n u y x n u
u quyidagi o’zgartirishlardan topiladi.
). , ( )) ( ' ( 1 ) ( ' )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( 2
x u x f x f x f x u x f x u x f x u n y x 80
Ma’lumki, ). , ( gradu n n y
j L ga normalning, vektorga ortogonal bo’lgan birlik vektori quyidagicha hisoblanadi: . )) ( ' ( 1 1 ; )) ( ' ( 1 ) ( ' 2 2
f x f x f n
Bundan: 2 2 )) ( ' ( 1 1 )) ( ' ( 1 ) ( ' ) , (
f y u x f x f n u y x n u
Yuqoridagilarga asoslanib, chegaraviy shartlardan L konturda ) ,
y x u ni topish uchun sistemani hosil qilamiz. 2 2 )) ( ' ( 1 1 )) ( ' ( 1 ) ( ' )) ( , ( ) ( ' )) ( , ( x f y u x f x f x u x f x x f y u x u x f x x
Uning determinanti hech qayerda 0 ga teng emas. Bundan kelib chiqadiki, ) , ( y x u х ,
) , ( y x u у lar mavjud va ular bir qiymatli aniqlanishi mumkin. Shunday qilib, biz (1.19) formula to’g’riligini asosladik. Uni hosil qilish uchun qo’llaniladigan usul Riman usuli deyiladi. Eslatma: Dalamber formulasi (1.19) formulaning xususiy holidan iborat uzluksiz umumlashtirilgan yechim. Shunday hollar bo’ladiki, amaliy masalalarning yechimlari bo’ladi. Bunday yechimlar ushbu kursdagi standart formulalar yordamida hosil qilib bo’lmaydi. Ammo, ularni masalan, oddiy yechimlarning chegarasidek tasvirlash mumkin.
Download 8.22 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|