Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi
Limitga o’tish shaklidagi umumlashgan yechimlar
Download 8.22 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Integrallik ayniyat ma’nosidagi umumlash yechimlar
- Umumiy yondashuv.
- 1.3.4. Kartochkalar uchun testlar 1.3.5. ekranga tayanch materiallarni ko’rsatish(slaydlar)
|
4. Limitga o’tish shaklidagi umumlashgan yechimlar
0
u L tenglamadan topish lozim bo’lgan u funksiya berilgan va bunda shu funksiyaga ba’zi bir F va F funksiyalar ko’rinishida shartlar qo’yilgan bo’lsin.Agar bu masala yechimga ega bo’lmasa, masalan, 2 2
C Ф C F bo’lganligi tufayli bu holda biz tekis yaqinlashuvchi ketma-ketliklar Ф Ф F F n n , ni
tuzamiz.Bu yerda 2 2 , C Ф C F .Shunda agar n F va n Ф funksiyalarga mos keluvchi yechim
) (
u mavjud bo’lsa u sifatida n u funksiyalarning limitini olamiz: n n u u lim
Bunda
n u ketma-ketlik u ga tekis yaqinlashish sharti bajarilgan. Misol. Bizlarga berilgan giperbolik tenglama uchun Koshi masalasini ko’rib chiqamiz: x x x u x x ф x u T t x u a u t xx tt ), ( ) 0 , ( ; ), ( ) 0 , ( ; 0 , , 2 Ma’lumki agar ) (
( 1 2 E C Е С ф bo’lsa yechim Dalamber formulasi bilan berilgan bo’ladi?
81
at x at x d a at x ф at x ф t x u ) ( 2 1 2 ) ( ) ( ) , (
Faraz qilaylik bizlarga xuddi shunday masalada ,
funksiya faqatgina uzluksiz bo’lsa, ya’ni biz Dalamber formulasidan foydalana ololmaymiz. Polosada fikr yuritamiz.
d;
kesmadan tashqarida 0 ф bo’lishini talab qilamiz. Bu yerda d ma’lum bir o’zgarmas. Bunday xossa supp
,
=
d d;
kabi belgilanadi. Faraz qilaylikki shunday ) ( ), (
x ф n n funksiyalar mavjud bo’lib, ) (
( 1 2 E C Е С ф n n
shuningdek d x 2 uchun
, 0 ) ( ) (
x ф n n hamda
d aT d ( 2 ); ( 2 kesmada ). ( ) ( ); ( ) (
x х ф x ф n n
Ф n funksiyalarga mos keluvchi Koshi masalasining yechimi uchun Dalamber formulasi o’rinlidir.
T E C t x u d a at x ф at x ф t x u n at x at x n n n ; 0 ) , ( ) ( 2 1 2 ) ( ) ( ) , ( 2
Bunday funksiyalarning limitini bizlar yechim deb nomlaymiz. ) , ( ) , ( lim t x u t x u n n
Aniqlashni to’g’ri deb hisoblash mumkin agar biz
t aT d x aT d t x 0 , 2 2 : ) , ( To’g’ri burchakda ) ,
x u n ketma-ketlikning tekis yaqinlashishini ko’rsata olsak (ravshanki to’g’ri to’rt burchakdan tashqarida ketma-ketlikning barcha hadlari 0 ga aynan teng). Buning uchun
) , ( ) , ( ) , ( 0 , : 0 t x t x u t x u p M m M m p m ni isbotlaymiz Bu ayirmani Dalamber formulasi orqali baholaymiz.
) ( ) ( 2 1 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) , ( ) , ( Hosil qilingan yig’indini har qanday ilgaridan berilgan dan kichik qilish mumkin –bu tekis yaqindashish shartidan, demak
chiqadi.Shundan hosil qilamizki
) , ( ), , ( ) , ( t x t x u t x u n bu yerda
C t x u ) , (
Bundan tashqari , 0 ) ), 2 ( ( t aT d u n bo’lgani uchun , 0
), 2 ( ( t aT d u va
to’g’ri burchakdan tashqarida 0 ) , ( t x u bo’ladi. Shunday tarzda tuzilgan funksiya limitik o’tish shaklidagi umumlashtirilgan yechim deyiladi.Bu yechim yagonami degan savol tug’iladi (chunki biz n Ф , n ketma-ketliklarni ixtiyoriy ravishda tanlagan edik )? Bu savolga javob berish uchun bizlar ixtiyoriy ikki 2 1
1 , , n n n n ва ф ф juft ketma-ketlik olamiz va ular 82
; , ; , 2 1 2 1
n n n n ф ф ф ф
bo’ladi. Faraz qilaylikki bu ketma-ketliklarga mos ravishda Dalamber formulasi bo’yicha hosil qilingan 2 1 n n u ва u ketma-ketliklar hadlarining limitlaridan iborat bo’lgan ) ,
), , ( 2 1
x u t x u ikki yechimlar to’g’ri kelsin ) ,
) , ( 2 1
x u t x u isbotlaymiz. Buning uchun ularning ayirmasini baxolashimiz kerak
) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 2 1 1 1 2 1 t x u t x u t x u t x u t x u t x u t x u t x u n n n n
2 1
n u vа u funksiyalarning mos ravishda 2 1
vа u funksiyalarga tekis yaqinlashishi sababli ushbu ayirmaning birinchi va uchinchi qo’shiluvchilari nolga intiladi, chunki
2 1 2 1 , , n n n n vа ф ф ketma-ketliklarga mos ravishda yana o’sha funksiyalar Ф va
yaqinlashadi.Bu yerdan ) , ( ) , ( 2 1 t x u vа t x u funksiyalarning aynan tengligi kelib chiqadi.
6. Integrallik ayniyat ma’nosidagi umumlash yechimlar. Umumlashgan yechimlar qo’llanilishining boshqa misoli sifatida Puasson tenglamasidagi ) ,
( z y x f u
funksiya ikki marta diferensiyalanmaydigan holat, ya’ni normal yechim mavjud bo’lmagan holat bo’lishi mumkin (chunki hamma vaqt 2
) Umumiy yondashuv. chegaraga ega bo’lgan 3 E sohada ) , , (
y x u
funksiyalar F u L tenglama bilan aniqlanadigan bo’lsin, bu yerda 3 1 3 1 3 1 , ) ( ) ( ) ( i j i x i x x j i u x c u x b u x a u L i j i
shunda burchakga bog’langan operator quyidagicha beriladi
3 1 3 1 3 1 , ) ( ) ( ) ( i j i x i x x j i v x c v x b v x a v M i j i
Bizlar faqat shunaqa v funksiyalarni qaraymizki, ular uchun limitda to’liq quyidagi shart bajarilishi kerak. Ma’lumki agar ) ( ) ( , 1 2 C C v u bo’lsa (1.16) formula o’rinli bo’ladi d n p d div d v uM u vL ) , ( ]) [ ] [ ( v ga qo’yilgan shartlardan z y x v v v v , , , funksiyalar demak vektor funksiya ham da 0ga aylanishini hosil qilamiz. Bundan kelib chiqadiki
0 ]) [ ] [ ( d v uM u vL
F u L ekanligidan foydalanamiz
d v uM vFd ] [ (1.20)
funksiya uchun hosil qilingan ifoda integral o’xshashlik ma’nosidagi umumlashtirilgan yechim deyiladi. Shunday qilib biz uzluksiz differensiallanish talabini v funksiyaga o’tkazib, shuningdek bu funksiya qat’iy ichida yotuvchi sohadagina 0ga teng bo’lmasligi shartini talab etib u funksiya uchun tenglamani o’zgartirdik.
)
( ) , ( 2 1 t x u t x u
83
1.3.2-а. Frontal so’rov uchun savollar 1. Chiziqli algebradagi qo’shma operator bilan bog’lanish. 2. [ ]
L u differensiallanuvchi operatorni yozing. 3. [ ]
L u differensiallanuvchi operator qo’shma operator qanday ko’rinishga ega 4. [ ]
L u differensiallanuvchi operator uchun chegaraviy masalani keltiring. 1.3.2-b. Blits-so’rov uchun savollar 1. Differensial operator. 2. Qo’shma differensial operator . 3. Qo’shma differensial operatormisol keltiring. 4. Dalamber formulasini yozing. 5. Puasson tenglamasini keltiring. 1.3.2-c. Og’zaki so’rov uchun savollar 1. Egri chiziqli integrallar uchun Grin formulasini yozing. 2. Limitga o’tish shaklidagi umumlashgan yechimlar. Umumiy yondoshuv. 3. Giperbolik tenglama uchun Koshi masalasini keltiring 4. Integrallik ayniyat ma’nosidagi umumlash yechimlar. Umumiy yondashuv.
takrorlash va mashqlar: takrorlash, o’z-o’zini tekshirish, tahlil, qayta ishlash, mustahkamlash, eslab qolish, chuqurlashtirish; yangi materiallarning mustaqil o’zlashtirish: yangi adabiy va internet materiallar, konspekt qo’shimchasi; mustaqil iboralar tuzish; ilmiy xaraktyerdagi ishlar: muammoli holatlar, testlar, savollar, topshiriqlar tuzish; topshiriqlarni bajarish.
Prezentatsiya 1.3.6. Tavsiya etilgan adabiyotlar Asosiy 1.
Saloxiddinov M.S. Matematik fizika tenglamolari. T., «O’zbekistan», 2002, 448 b. 2.
Mixlin S.G. Kurs matematicheskoy fiziki. M, 1968, 3.
Sobole» SL. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1966. 4.
Bisadzs L.V. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1976. 5.
Bisadze A.V., Kalinichenko D.F. Sbornik zadach po uravneniyam matematicheskoy fiziki. M. 1977.
|
