Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi
Download 8.22 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- xosil qilamiz
- [2.1] issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun 1- chegaraviy masalasining yechimi
- Shturm-Liuvill masalasini
|
diffuziya tenglamasi quyidagicha bo’ladi: ) , , , ( ) (
z y x F Dgradu div cu t funktsiya bir biror F enti koeffitsiy diffuziya D 2.
Bir fazoviy o’zgaruvchi bilan berilgan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi. Asosiy masalalarning qo’yilishi
Quyidagi tenglamani qarab chiqamiz: T t l x t x f u a u xx t 0 , 0 ), , ( 2
Agar bizga sterjinning boshlang’ich vaqt momentidagi temperaturasi malum bo’lsa, u holda biz
boshlang’ich shartga ega bo’lamiz:
0 ), ( ) , (
Agar chetlarida temperaturani o’zgarishini bilsak, u holda ayrim chegaraviy shartlar xosil qilamiz:
Bu shartlardan bir nechtasini tanlab har xil tipli masalalarni hosil qilamiz: Birinchi chegaraviy masala
x x o x u T t t t l u T t t t u T t l x t x f u a u xx t 0 ), ( ) , ( 0 ), ( ) , ( 0 ), ( ) , 0 ( 0 , 0 ), , ( 2 1 2
Ikkinchi chegaraviy masala
x x x u T t t t l u T t t t u T t l x t x f u a u x x xx t 0 ), ( ) 0 , ( 0 ), ( ) , ( 0 ), ( ) , 0 ( 0 , 0 ), , ( 2 1 2
Yarim to’g’ri chiziqdagi masala 90
0 ), ( ) 0 , ( 0 ), ( ) , 0 ( 0 , 0 ), , ( 2
x x u T t t t u T t x t x f u a u xx t
Koshi masalasi x x x u T t x t x f u a u xx t ), ( ) 0 , ( 0 , ), , ( 2
3. Birinchi chegaraviy masala yechimining mavjudligi
O’zgaruvchilarni ajratish usuli. Birinchi chegaraviy masalaga kengroq to’xtalib o’tamiz: [2.1]
l x x x u T t t t l u T t t t u T t l x t x f u a u xx t 0 ), ( ) 0 , ( 0 ), ( ) , ( 0 ), ( ) , 0 ( 0 , 0 ), , ( 2 1 2 Yechimning mavjud va yagonaligini qarab o’tamiz, shu bilan birga turhunligini va Grinn funksiyasini qo’llashini qaraymiz. Birinchi chegaraviy masalaning yechima nima. Aniqki, birjinsli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi holatida ) ,
~ t x u uzilishga ega bo’lgan funksiyalar tuplami qanoatlantiradi:
0 ); ( ) 0 , ( ~ ; 0 ); ( ) , ( ~ ; 0 ); ( ) , 0 ( ~ ; ) ; 0 ( ) 1 ; 0 ( : ) , ( ) , ( , ) , ( ~ 2 1 l x x x u T t t t l u T t t t u T t x Q t x const t x u T
Shuning uchun funksiya dan uzluksizlikni talab qilamiz, bu talab bilan keyinchalik biz barcha funksiyani o’rganishdagi noqulayliklar bartaraf etamiz.
Ta’rif. u(x,t) funksiya [2.1] issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun 1- chegaraviy masalasining yechimi deyiladi, agar u quyidagi 3 shartni qanoatlantirsa:
[2.2]
) , ( . 3 ; , . 2 ; . 1 t x u Q C u u Q C u T xx t T Bir jinsli issiqlik o’tazuvchasnlik tenglamasi nolinchi chegaraviy shartlar bilan berilgan birinchi chegaraviy masala uchun yechimni topamiz: [2.2]
. 0 ), ( ) 0 , ( ) 4 ( ; 0 , 0 ) , ( ) 3 ( ; 0 , 0 ) , 0 ( ) 2 ( ; 0 , 0 , ) 1 ( 2
x x x u T t t l u T t t u T t l x u a u xx t
Yechimni quyidagi yo’l bilan aniqlaymiz, avvalo berilgan tenglamani almashtirish yordamida biror u(x,t) funksiyani tuzatamiz, keyin esa, boshlang’ich shartlarga qo’yilgan ma’lum bir cheklanishlarda biz tuzgan funksiya 1-chi chegaraviy masalaning yechimi bo’lishini isbotlaymiz. Yangi funksiyani aniqlaymiz:
.) (
( ) , ( t T x X t x v
Funksiyamizni issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasiga qo’yib quyidagini hosil qilamiz:
). ( ) ( ) ( ) ( 2 t T x X a t T x X
91
Tenglikning ikki tomonini ham ) ( ) ( 2
T x X a ga bo’lamiz:
) ( ) ( ) ( ) ( 2 x X x X t T a t T
O’ng va chap tomondagi funksiyalar har xil o’zgaruvchilarga bog’lik bo’lganligi tufayli, aniqki ularning har ikkalasi ham biror konstantaga teng bo’ladi, biz uni bilan belgilaymiz:
) ( ) ( ) ( ) ( 2 x X x X t T a t T
Bundan 2 ta tenglamaga ega bo’lamz:
; 0 ) ( ) (
X x X (2.3) ) ,
x v funksiyamiz uchun chegaraviy shartlarni yozib olamiz: . 0 ) , ( , ; 0 ; 0 ) , 0 ( t l v T t t v
Quyidagini hosil qilamiz: . 0 ) ( 0 ) 0 ( l X X
(2.3) ni xosil bo’lgan sistema bilan birlashtirsak, Shturm-Liuvill masalasini hosil qilamiz:
. 0 ) ( ; 0 ) 0 ( ; 0 ) ( ) ( l X X x X x X
Barcha larni topish talab qilinadi.
Differensial tenglama kursidan malumki,
n x l n c x X N n l n n n n , sin ) ( , 1 2
ni (2.4) ga qo’yib, quyidagi ko’rinishdagi tenglikni hosil qilamiz:
. 0 ) ( ) ( 2 t T a t T n n n
Yechim
t l n a c T n n 2 2 2 exp
bo’ladi. ) (
( t T va x X n n ni birlashtirib quyidagini hosil qilamiz:
l n a x l n c t T x X t x v n n n n 2 2 exp sin
) ( ) ( ) , (
Qayd etib o’tamizki, xamma shunday funksiyalar (1) issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining yechimi va (2), (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. u(x,t) funksiyani qatorning yig’indisi sifatida aniqlaymiz:
) , ( ) , ( 1 t x v t x u n n
Takidlab o’tamizki bu chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Konstantalarni shunday tanlaymizki, boshlang’ich shartlar bajarilsin: 92
) sin(
) 0 , ( ) 0 , ( ) ( 1 1 x l n c x v x u x n n n n
Tenglikni ) sin(
x l m ga ko’paytiramiz (m-butun). s x almashtirish olamiz va s bo’yicha integrallaymiz: . sin sin sin
) ( 0 1 0
s l n s l m c ds s l m s l n n l
m l l c l ds s l m s m n l m n x l m x l n 2 sin ) ( . , 2 ; , 0 sin sin 0 0
ds s l m s l c l m sin
) ( 2 0
Natijada u(x,t) uchun quyidagi formulani hosil qilamiz: . exp sin sin
) ( 2 ) , ( 2 2 0 1 t l n a x l n ds s l n s l t x u l n (2.5)
Download 8.22 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|