Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi

2 bosqich. Asosiy qism (60 daqiqa); 

      -          o’qituvchi  faoliyati:  mavzuni  kiritish,Matematik  fizika  tenglamalarini 

o’rganish  bilan  bog’liq    oldingi  mavzuni  eslashni  taklif  etish;  amaliy  mashg’ulotlar 

matnini  tarqatish;  qo’shimcha  adabiyotlarda  tushunchalar  berish;  ish  usullari  bilan 

tanishtirish;  mashg’ulotlar  tarqatish;  tushunarsiz  savollarni  aniqlab,  ularni  echimi 

topishga 

yordamlash; 

gruppalarda 

ishlashni 

tashkillash; 

natijalarni 

muhokamalashtirish; 

      -          talaba  faoliyati:  oldingi  mavzu  bo’yicha  bilimlarni  mustahkamlash;  quloq 

solish,  yozib  olish;  tushunchalar  va  terminlarni  aytish;  savol  berishadi  va 

muhokamalashishadi,  aniqlashtirishadi;  gruppalarda  ishlashadi,  misol  va  masalalar 

ishlashadi; olingan natijalar muhokamasiga qatnashishadi 

-      qabul qilish shakli metodlari: og’zaki nazorat, grupalarda individual savol-javob; 

misol va masalalar echimlarini daftarga yozib olish 

 

3 bosqich. Yakuniy qism(10 daqiqa) 

      -         o’qituvchi  faoliyati:  mavzu  bo’yicha  xulosa  chiqarish;  talabalarni  fikrini  bir 

joyga  jamlash;  qilingan  ishlarning  muhimligini  aytib  o’tish;  javob  bergan  talabalarni 

ishini  baholash;  o’quv  darsning  maqsadiga  erishish  darajasini  baholash  va 

analizlashtirish; mustaqil ishlar topshiriqlari 

      -            talaba  faoliyati:  ish  analizi;  misol  va  masalalar  asosida  malaka  oshirish; 

o’zaro  baholash  o’tkazish;  yo’l  qo’yilgan  xatolarnini  aniqlash  va  analizlash;  berilgan 

mustaqil ishlarni yozib olishadi; 

         -    qabul qilish shakli metodlari: guruhda va individual ishlash; mustaqil ishlar 

uchun daftar tutish. 

 

 

 

 

1.3 O’quv-uslubiy qo’llanma 

O’quv mashg’ulotlar rejasi: 

- 

metodik qullanmalar va topshiriqlar bilan ishlash 

- 

Amaliy darslar uchun daftar tutish 

- 

o’quv topshiriqlar 

- 

amaliy ishlarni topshirish 

  

 

Misol va mashqlar namoishi 

O'zgaruvchilarni ajratish uchun  (umumiy hol) 

Faraz qilamiz 

 (11.1) 

Tenglamaning umumiy yechimini toppish kerak. 

u

x

q

x

u

x

p

x

t

u

x

)

(

)

(

)

(

2

2































253 

 

( bu yerda  (x), p(x), q(x)   )- yetarlicha silliq funksiyalar , biroq  

p(x)>0, (x)>0,q(x)0)  

Bu tenglama  

(11.2) 

Shartlarni va  

 (11. 3) 

Boshlang’ich shartlarni qanoatlantradi. 

    Birinchidan  berilgan  tenglamaning  ,  chegaraviy  shartlarini  qanoatlantruvchi  

netrival yechimini 

 (11.4) 

(11.4) ni     (11.1)  tenglamaga  quysak, 

yoki 

   bu yeda    

  

- o’zgarmas 

Bu yerdan. 

 (11.5) 

 (11.6) 

Shunday  qilib  , 

( ) ≠ 0,

holda    (11.4)    tenglama        (11.2)    boshlang’ich  shartlarni 

qanoatlantrish uchun. 

 (11.7) 

Shartlarni bajarilishi zarur va yetarli. 































.

0

)

,

(

)

,

(

,

0

)

,

0

(

)

,

0

(

x

t

l

u

t

l

u

x

t

u

t

u









).

0

(

)

(

)

0

,

(

),

(

)

0

,

(

l

x

x

t

x

u

x

x

u

















)

(

)

(

)

,

(

x

X

t

T

t

x

u



)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

"

)

(

x

X

t

T

x

q

dx

dX

x

p

dx

d

x

T

x

X

t

T

x



















,

)

(

)

(

"

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

























t

T

t

T

x

X

x

x

X

x

q

dx

dX

x

p

dx

d

,

0

))

(

)

(

(

)

(



















X

x

q

x

dx

dX

x

p

dx

d



0

)

(

)

(

"





t

T

t

T

















.

0

)

(

'

)

(

,

0

)

0

(

'

)

(

l

X

l

X

X

o

X









254 

 

Shunday qilib  

( )

  - funksiyani aniqlash uchun quyidagi oddiy defferinsial tenglama 

uchun chegaraviy masalaga kelamiz: 

Shunday     ni toppish kerakki , u xos qiymatga  namlanib, bunda (11.5) tenglamaning  

netrivali  yechimlari  mavjud  bo’lib  (11.7)  shartlarni  qanoatlantirsak    hamda    xos 

funksiyalar  deb nomlanuv chi netrival  yechimlarni toppish kerak . 

        Chegaraviy masaladagi xos qiymatlar  va xos funksiyalar  xossalari: 

1. 

Sanoqli    xos  qiymatlar         

      mavjud    bo’lib  ,  unga    

  xos  funksiyalar  mos keladi. 

2. 

 va  

 bo’lganda  

-ng  barcha   xos  

qiymatlari musbatdir. 

3. 

Xos funksiyalar  

  kesmada    (x)  og’rlikdagi ortagonal  va  normalangan  

sestimani ifodalaydi, 

Ya’ni 

 (11.8) 

4. 

(Steklov  teoremasi)  Har  bir   

( )

funksiya  (11.7)  chegaraviy  shartlarni 

qanoatlantradi    va  birinchi  tartibli    uzluksiz    va  ikkinchi  tartibli    qism  –uzluksiz 

hosilalarga  ega  bo’lib  , 

( )

    -  xos  funksiyalar    bo’yicha    absolyut    va  tekis  

yaqinlashuvchi qatorga yoyiladi: 

 

Kiyinchalik,  har  bir 

    -xos  qiymat  uchun    (11.6)-tyenglamani  yechamiz    (11.6) 

tenglamaning umumiy yechimini   

  (uni

   ( )

  bilan belgilaymiz) bo’lganda 

quyidagicha belgilaymiz: 

 bu yerda  

 

   ixtiyoriy o’zgarmaslar. 

Shunday qilib , biz  (11.1)  tenglamaning cheksiz  yechimlari to’plamini hosil qildik. 

 

(11.3)   boshlang’ich shartni qanoatlantirish  uchun  

...,

...

2

1









n







),...

(

),

(

2

1

x

X

x

X

0

)

(



x

q





0

)

(

)

(

)

(

0

'







l

x

x

n

n

x

X

x

X

x

p

n



 

l

,

0















.

,

1

,

,

0

)

(

)

(

)

(

0

n

m

при

n

m

при

x

X

x

X

x

l

m

n



.

)

(

)

(

)

(

),

(

)

(

:

)

(

0

1













l

n

n

n

n

n

n

dx

x

f

x

X

x

a

x

X

a

x

f

x

X



n







,

sin

cos

)

(

t

b

t

a

t

T

n

n

n

n

n









).

(

)

sin

cos

(

)

(

)

(

)

,

(

x

X

t

b

t

a

x

X

t

T

t

x

u

n

n

n

n

n

n

n

n











255 

 

 (11.9) 

Qatorni tuzamiz. 

Agar  bu  qator  tekis  yaqinlashuvchi  bo’lsa,  xuddi  shunday,  x    va      t    bo’yicha    ikki 

marta  hadma-had  undan  hosil  bo’luvchi    qator  ham  tekis  yaqinlashuvchi    va    uning  

yig’indisi (11.1) tenglamani  va  (11.2) chegaraviy masalani qanoatlatradi. 

(11.3)  –  boshlang’ich  shartlarning  bajarilishi  uchun  , 

 

      koefsentlarni 

umumlashgan  Fure    qatorning  ortonormalangan    (

)  funksiya  sestimasi  bo’yicha  

  

    

  funksiyalarning koefsentlari yiyilmasi  kabi topamiz. 

Endi  o’zgaruvchilarni    ajratish  usulini  qullash    sohasida    ba’zi  bir  umumiy  izohlarni 

keltiramiz. 

Usulning  qullanishi  asosida  defferinsial  tenglamalar    va  chegaraviy    shartlar  kabi 

chiziqlilik yotadi. Defferensial tenglamalarning  koefsentlari yoki o’zgarmas  bo’lishi 

mumkin,  yoki  funksiya    ko’rinishda  tasvirlanadiki    har  biri  bitta  o’zgaruvchiga  ega. 

Masalan , ikkita erkli o’zgaruvchiga  ya’ni  x  va  t   -ga  bog’liq defferensial  tenglama 

holida , unga mos defferensial tenglama quyidagi ko’rinishga ega. 

     yoki 

 Bu holga  keltiriladi.  Agar bu  masalada bu shartlar birjinsli bo’lmasa , uni birjinsliga 

keltirish  kerak  .  Ikki  o’lchovli  holda  (vaqtni  hisobga  olmagan  holda)  qaralayotgan 

masala  chegarasining  sohasi    kordinata  chiziqlaridan  (uch  o’lchovli  hol  uchun  –

fazoviy-  kodinatalardan  )  iborat  bo’lishi  kerak  .Shunday  qilib  ,  agar  dekart  kordinata 

sestimasi  ishlatilsa sohaning chegarasi kordinata o’qlariga parallel to’g’ri kesmalardan 

iborat; 

Qutbiy kordinata sestimasi ishlatilganda soha chegarasi – qutibdan chiquvchi markazi 

qutib  va kesma  nurlaridan  iborat aylana yoyini tashkil etadi va h-a. 

Bu  hol  usulning  kuchli  ekanligini  cheklanadi.Fazodagi  to’lqin  tarqalishi  masalasi    va 

potenseallar  nazaryasida  o’zgaruvchilarni  ajratish    usullarining  faqat  eng  oddiy   

konfiguratsiyalarini qaralayotgan sohada qaraymiz. 

          Ikkinchi  tartibli  birjinsli  chegaraviy  shartlar    bilan  berilgan  to’lqin  tebranish  

tenglamasi  uchun  birjinsli bo’lmagan  boshlang’ich chegaraviy masala 











1

)

(

)

sin

cos

(

)

,

(

n

n

n

n

n

n

x

X

t

b

t

a

t

x

u





0

))

(

)

(

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

2

2

2





























u

t

F

x

F

t

u

t

D

x

u

x

C

t

u

t

B

x

u

x

A

256 

 

          Ikkinchi  tartibli  birjinsli  chegaraviy  shartlar    bilan  berilgan  to’lqin  tebranish  

tenglamasi  uchun  birjinsli bo’lmagan  boshlang’ich chegaraviy masalani yeching? 

 (11.10) 

 (11.11) 

 (11.12) 

 (11.13) 

1.Qadam  Shturm-Liuvill  masalasining  yechimi    Bu  qadamni  biz  masalada  yechgan 

edik  

Natija: cheksiz netrival yechimlar to’plami 

 

2.Qadam 

 

chegaraviy 

shartlar 

bilan 

 

 

berilgan    

      tenglamaning    yechimini 

  ko’rinishda 

izlaymiz, bu yerda   

  funksiya  quyidagicha ko’rinishga ega: 

 (11.14) 

Faraz  qilamiz   

( , )

      funksiya  har  bir   

    uchun    Fure  qatoriga   

  -

funksiya bo’yicha yoyilgan : 

 (11.15) 

Bunda , berilgan Fure qatorining koefsentlari quyidagi formula orqali topiladi: 

 (11.16) 

(11.10) tenglama quyidagi ko’rinishga ega : 

Uning bajarilishi 

uchun , 

        

uchun 

Bo’lishi yetarli , u holda  

257 

 

     uchun  

Bu bajariladi ,agar  

 (11.17) 

Ya’ni , biz  

   -funksiya uchun yetarli shartga ega bo’ldikki  

 

 

 

(agar 

qator 

yaxshi 

bo’lsa) 

 

funksiya   

  chegaraviy shartlar bilan  berilgan  

    tenglamaning   yechimi bo’lsin . 

3.Qadam  (11.1)-(11.13) masalani yechamiz .   

(11.10)-(11.13)  masala  shartlaridan    biz  hali     

   

 

boshlang’ich shartlardan foydalanmadik. 

   boshlang’ich shartlarga 

kiruvchi funksiyalar , 

  funksiyasi bo’yicha qatorga yoyiladi. 

 (11.18) 

 

 (11.19) 

  funksiyani  (ya’ni qatorni yaxshi deb)  boshlang’ich 

shartlarga quyamiz. 

 

Bu tenglamani bajarilishi uchun , 

 

Bo’lihi yetarli . 

Shunday  qilib  ,  (11.17)  va  (11.18)  –(11.19)  lardan   

funksiya  uchun  koshi 

masalasiga  ega bo’lamiz 

258 

 

(11.20) 

Bu koshi masalalari ixtiyoriy  

  va ixtiyoriy 

 qiymatlar 

uchun yagona yechimga ega, 

Birinchidan 

Tenglamani yechamiz: 

Uning umumiy yechimi quyidagicha : 

 

O’zgaruvchilarni variatsialash usilidan   (11.11) tenglamaning yechimini   

   ko’rinishda izlaymiz, 

Bu yerda

-quyidagi sestimaning yechimidir: 

 

Bu yedan  

 

Boshlang’ich  shartlarni  hisobga  olsak  :_ 

,     

    va 

quyidagiga ega bo’lamiz: 

(11.21) 

Shunday qilib, 

 

 (11.22) 

259 

 

Qolgan narsa , (11.13) –ni quyidagi formulaga quyish kerak: 

________________________________   

№_1,Masalaning  

( , ) −

yechimni toping. 

 (11.23) 

 

(11.24) 

 (11.25) 

 (11.26) 

Yechim: №1  ga qarang (klassik usul)   

 №_II  masalaning  

( , ) −

  yechimini toping: 

 (11.27) 

 

(11.28) 

 (11.29)  

Yechim:  №1  ga qarang (klassik usul)   

 №_II  masalaning  

( , ) −

  yechimini toping: 

 

 

 

 

 

 

O’quv mashqlar  

–misol va masalalarni eching  

–teoremani isbotlang  

–shu mavzuni nazariyasini o’qib oling 

 

 

 

Tavsiya etiladigan adabiyotlar 

2

2

1)

cos 2 ,

2, (0, )

(0, )

( , 0)

( , )

0,

.

2)

sin , ( , 0)

2 , (0, )

, ( , )

,

[0;1],

[0,1].

tt

xx

t

xx

U

U

a U

x

t a

U

x

x

U t

U t l

l

t

U

U

t

x U x

x U

t

t U l t

t

x

t





































2

4

2

3)

2 cos ,

1,5, (0, )

(0, )

( , 0)

( , )

0,

.

4)

sin , ( , 0)

, (0, )

, ( , )

,

[0;1],

[0,1].

tt

xx

t

xx

U

U

a U

x

t a

U

x

x

U t

U t l

l

t

U

U

t

x U x

x U

t

t U l t

t

x

t





































2

5)

sin ,

4, (0, )

(0, )

( , 0)

( , )

0,

1.

6)

, ( , 0)

, (0, )

2 , ( , )

,

[0;1],

[0,1].

x

tt

xx

t

xx

U

U

a U

e

t a

U

x

x

U t

U t l

l

t

U

U

tx U x

x U

t

t U l t

t

x

t



































260 

 

Asosiy 

1. 

Saloxiddinov  M.S.  Matematik  fizika  tenglamolari.  T.,  «O’zbekistan»,  2002, 

448 b. 

2. 

Mixlin S.G. Kurs matematicheskoy fiziki. M, 1968, 

3. 

Sobole» SL. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1966. 

4. 

Bisadzs L.V. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1976. 

5. 

Bisadze      A.V.,      Kalinichenko      D.F.      Sbornik      zadach      po      uravneniyam 

matematicheskoy fiziki. M. 1977.