Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish. Faraz qilaylik, 
A matrisaning xos sonlari quygidagi shartni kanoatlantirsin: 
, 
ya’ni A matrssaning bir-biridan farqli bo’lgan ikkita modullari bo’yicha eng katta xos 
soni mavjud bo’lsin. Bunday vaqtda 1-holda ko’rilgan usulga o’xshash usulni qo’llab, 
 va unga moo keladigan 
 xos vektorni topish mumkyan. (12.2) formulaga ko’ra 
   
 
 (12.13) 
 
 
                          (12.14) 
Bu  tengliklarda 
,  ni  yo’qotish  uchun  (12.13)  ni 
  ga  ko’paytirie  (12.14)  dan 
ayiramiz. Natijada 
|
|
.
.
.
|
|
|
|
|
|
3
2
1
n

























)
2
(
2
2
2
)
1
(
2
1
1
)
2
(
)
2
(
1
2
2
)
1
(
1
1
1
)
1
(
)
2
(
2
2
)
1
(
1
1
)
(
,
,
x
b
x
b
y
x
b
x
b
y
x
b
x
b
y
k
k
k
k
k
k
k
k
k






0
)
(
)
(
2
1
)
1
(
2
1
)
2
(






k
k
k
y
y
y




)
2
(
)
1
(
)
(
,
,


k
k
k
y
y
y
0
)
(
)
1
(
)
2
(





k
k
k
y
q
y
p
y
1

2

0
2



q
pu
u
p
q
0
,
0
)
(
)
1
(
)
2
(
)
(
)
1
(
)
2
(










k
j
k
j
k
j
k
i
k
i
k
i
qy
py
y
qy
py
y
j
i 
)
;
,
1
,
(
0
1
)
2
(
)
2
(
2
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
j
i
n
j
i
y
y
u
y
y
u
y
y
k
j
k
i
k
j
k
i
k
j
k
i

















1

2

)
1
(
2
1
1
1
)
(
2
)
1
(
)
2
(
1
2
2
2
)
(
1
)
1
(
)
(
,
)
(
x
b
y
y
x
b
y
y
k
k
k
k
k
k
















|
|
.
.
.
|
|
|
|
|
|
3
2
1
n








2

)
2
(
x
,
.
.
.
)
(
)
2
(
2
2
)
1
(
1
1
)
(
n
k
n
n
k
k
k
x
b
x
b
x
b
y







.
.
.
.
)
(
1
)
2
(
1
2
2
)
1
(
1
1
1
)
1
(
n
k
n
n
k
k
k
x
b
x
b
x
b
y











1

1


 
125
 
 
(12.15) 
ga ega bo’lamiz. 
Yozuvni qisqartirish maqsadida 
 ning 
-ayirmasi deb ataluvchi quyidagi 
 
belgilashni  kiritamiz.  Agar 
  bo’lsa  u  holda 
  da  (12.15)  da  birinchi 
qo’shiluvchi yigindiping bosh qismi buladi va biz 
   
 
 
(12.16) 
taqribiy tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerdan esa 
. 
 
 
(12.17) 
Bu tengliklarni komponentlarda yozib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo’lamiz: 
. 
 
 
(12.18) 
Bu  formula  yordamida 
  ni  topishimiz  mumkin.  Bir-biriga  yaqin  sonlar 
  va 
  hamda 
  va 
  bo’lganligi  uchun  aniqlik  yo’qoladi.  Shuning  uchun 
ham, praktikada 
 ni aniqlaidigan iterasiya nomeri 
 ni 
 ni aniqlaydigan nterasiya 
nomeri   Dan kichikroq qilib olish, ya’ni 
 ni quyidagicha aniqlash ma’quldir: 
. 
 
 
(12.19) 
Agar   yetarlicha katta bo’lsa, 
 ning 
 dan ortiqligi sezilib qoladi, 
 
sifatida shu   larning eng kichigini olish kerak. Umuman aytganda, (12.19)  formula 
  ning  qo’pol  qiymatini  beradi.  Shu  usul  bilan  qolgan  xos  sonlarni  ham  topish 
mumkin, lekin natija yana ham qo’polroq chiqadi. 
(12.16) dan ko’rinib turibdiki, 
 dan faqat o’zgarmas ko’payuvchiga 
farq qilyapti, shuning uchun ham 
 
deb olishimiz mumkin. 
 
Mustaqil ishlash uchun savollar 
 
1.  Matrisaning xos son va xos vektorlari 
2.  Moduli bo’yicha eng katta xos soni hisoblashning iterasion usullari  
3.  Perron teoremasi. 
4. 
Vektorning berilgan bazisdagi koordinatalari
 
 
 
 
 
 
 
)
(
1
)
2
(
1
2
2
2
)
(
1
)
1
(
)
(
.
.
.
)
(
n
n
k
n
n
k
k
k
x
b
x
b
y
y














)
(k
y

)
(
)
1
(
)
(
k
k
k
y
y
y






0

b


k
)
2
(
1
2
2
2
)
(
)
(
1
x
b
y
k
k







)
2
(
1
2
1
2
2
)
1
(
)
(
1
x
b
y
k
k









)
1
(
1
)
(
)
(
1
)
1
(
)
1
(
)
(
2
1
1









k
j
k
j
k
j
k
k
j
k
j
y
y
y
y
y
y





2

)
(k
j
y
)
1
(
1

k
j
y

)
1
( 
k
j
y
)
(
1
k
j
y

2

m
1

k
2

)
(
)
1
(
1
)
(
)
(
1
)
1
(
2
k
m
y
y
y
y
m
j
m
j
m
j
m
j









l
l
2

.)
.
.
,
4
,
3
( 
j
l
j

m
l
2

)
(
)
2
(
1
m
y
x


)
(
)
2
(
1
m
y
x




 
126
13-ma’ruza 
 
FUNKSIYaLARNI INTERPOLYaSIYaLASh. LOGRANJ INTERPOLYaSION 
FORMULASI 
 
Reja: 
1.  Interpolyasiyalash masalasi. 
2.  Logranj interpolyasion formulasi. 
3.  Sistemaning koeffisiyentlarini hisoblash. 
 
 
Tayanch  iboralar:  Interpolyasiyalash,  boshlang’ich  qiymat,  tugun  nuqta, 
funksiya, Kroneker simvoli, ko’phad, xato. 
 
Aksariyat  hisoblash  metodlari  masalaning  qo’yilishida  qatnashadigan 
funksiyalarni  unga  biror,  muayyan  ma’noda  yaqin  va  tuzilishi  soddaroq  bo’lgan 
funksiyalarga almashtirish g’oyasiga asoslangan. 
Ushbu  mavzuda  funksiyalarni  yaqinlashtirish  masalasining  eng  sodda  va  juda 
keng qo’llaniladigan qismi — funksiyalarni interpolyasiyalash masalasi qaraladi. 
Dastlab  interpolyasiyalash  deganda  funksiyaning  qiymatlarini  argumentning 
jadvalda  berilmagan  qiymatlari  uchun  topish  tushunilar  edi.  Bu  holda 
interpolyasiyalashni  «satrlar  orasidagilarni  o’qiy  bilish  san’ati»  deb  ham  ta’riflash 
mumkin.  Hozirgi  vaqtda  interpolyasiyalash  tushunchasi  juda  keng  ma’noda 
tushuniladi. Interpolyasiya masalasining  mohiyati quyidagidan iborat. Faraz qilaylik, 
  oraliqda 
  funksiya  berilgan  yoki  hyech  bo’lmaganda  uning 
  qiymatlari  ma’lum  bo’lsin.  Shu  oraliqda  aniqlangan  va 
hisoblash  uchun  qulay  bo’lgan  qandaydir  funksiyalar  {
}  sinfini,  masalan, 
ko’phadlar  sinfini 
olamiz. 
Berilgan 
  funksiyani 
  oraliqda 
interpolyasiyalash  masalasi  shu  funksiyani  berilgan  sinfning  shunday 
 
funksiyasi bilan taqribiy ravishda  
 
almashtirishdan  iboratki, 
  berilgan 
  nuqtalarda 
  bilan  bir  xil 
qiymatlarni qabul qilsin: 
. 
Bu  yerda  ko’rsatilgan 
  nuqtalar  interpolyasiya  tugunlari  yoki  tugunlar 
deyiladi, 
 esa interpolyasiyalovchi  funksaya deyiladi.  Agar {
} sinfi sifatida 
darajali  ko’phadlar  sinfi  olinsa,  u  holda  interpolyasiyalash  algebraik  deyiladi. 
Algebraik  interpolyasiyalash  apparati  hisoblash  matematikasining  ko’p  sohalarida 
qo’llaniladi,  chunonchi,  differensiallash  va  integrallashda,  transsendent,  differensial 
va  integral  tenglamalarni  yechishda,  funksiya  ekstremumini  topishda,  hamda 
]
,
[
b
a
)
( x
f
y 
)
(
,
.
.
.
),
(
),
(
1
0
n
x
f
x
f
x
f
)
( x
P
)
(x
f
y 
]
,
[
b
a
)
( x
P
)
(
)
(
x
P
x
f

)
( x
P
n
x
x
x
,
.
.
.
,
,
1
0
)
(x
f
)
,
0
(
)
(
)
(
n
i
x
f
x
P
i
i


n
x
x
x
,
.
.
.
,
,
1
0
)
( x
P
)
( x
P

 
127
funksiya  jadvalini  tuzishda.  Teylor  yoyilmasi  klassik  analizda  qay  darajada 
ahamiyatga  ega  bo’lsa,  algebraik  interpolyasiyalash  ham  hisoblash  matematikasida 
shunday  ahamiyatga  egadir.  Ayrim  hollarda  interpolyasiyalashning  boshqa 
ko’rinishlarini qo’llash maqsadga muvofiqdir. Masalan, 
 Davriy funksiya bo’lsa, 
u  holda  {
}  sinfi  sifatida  trigonometrik  funksiyalar  sinfi  olinadi;  agar 
interpolyasiyalanadigan funksiya berilgan nuqtalarda cheksizga aylanadigan bo’lsa, u 
holda {
} sinfi sifatida rasional funksiyalar sinfini olish ma’quldir. 
Lagranj  interpolyasion  formulasi.  Biz  asosan  algebraik  interpolyasiyalash 
bilan  shug’ullanamiz.  Masalaning  qo’yilishi  quyidagichadir.  Darajasi 
  dan  yuqori 
bo’lmagan shunday ko’phad qurilsinki,  u  berilgan  (
) ta 
 nuqtalarda 
berilgan 
 
qiymatlarni  qabul  qilsin.  Bu  masalani  geometrik  ta’riflash  ham  mumkin:  darajasi 
 
dan  ortmaydigan  shunday 
  ko’phad  qurilsinki,  uning  grafigi  berilgan  (
)  ta 
 nuqtalardan o’tsin. 
Demak, 
 koeffisiyentlarni shunday aniqlash kerakki, 
  
 
 
(13.1) 
ko’phad uchun ushbu 
   
 
   (13.2) 
tengliklar  bajarilsin.  Bu  tengliklarni  ochib  yozsak, 
  larga  nisbatan  (
) 
noma’lumli (
) ta tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi: 
 
 
 
(13.3) 
Bu  sistemaning  determinanti  Vandermond  determinantidir: 
.  Masala 
mazmunidan  ravshanki, 
 nuqtalar bir-biridan  farqli,  demak bu determinant  noldan 
farqlidir.  Shuning  uchun  ham  (13.3)  sistema  va  shu  bilan  birga  qo’yilgan 
interpolyasiya  masalasi  yagona  yechimga  ega.  Bu  sistemaii  yechib, 
  larni  topib 
(13.1) ga qo’ysak, 
 ko’phad aniqlanadi. Biz 
 ning oshkor ko’rinishini topish 
uchun  boshqacha  yo’l  tutamiz,  avvalo  fundamental  ko’phadlar  deb  ataluvchi 
 
larni, ya’ni 
 
shartlarni qanoatlantiradigan p- darajali ko’phadlarni quramnz. U holda 
 
 
 
 
(13.4) 
izlanayotgan  interpolyaiion  ko’phad  bo’ladi.  Haqiqatan  ham,  barcha 
 
)
(x
f
)
( x
P
)
( x
P
n
1

n
n
x
x
x
,
.
.
.
,
,
1
0
)
(
,
.
.
.
),
(
),
(
1
0
n
x
f
x
f
x
f
n
)
(x
P
1

n
)
,
0
(
))
(
,
(
n
k
x
f
x
M
k
k
k

m
c
n
n
x
c
x
c
c
x
P




.
.
.
)
(
1
0
n
k
x
f
x
P
k
k
,
.
.
.
,
1
,
0
),
(
)
(


)
,
0
(
n
m
c
m

1

n
1

n






















).
(
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
),
(
.
.
.
),
(
.
.
.
2
2
1
0
1
1
2
1
2
1
1
0
0
0
2
0
2
0
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
f
x
c
x
c
x
c
c
x
f
x
c
x
c
x
c
c
x
f
x
c
x
c
x
c
c
)
,
.
.
.
,
,
(
1
0
n
x
x
x
W
k
x
m
c
)
( x
P
)
( x
P
)
(x
Q
nj







булганда
j
i
булганда
j
i
x
Q
j
i
i
nj
,
1
,
,
0
)
(




n
j
nj
j
n
x
Q
x
f
x
L
0
)
(
)
(
)
(
n
i
,
.
.
.
,
2
,
1
,
0


 
128
uchun 
 
va ikkinchi tomondan 
   - darajali ko’phaddir. 
Endi 
  ning  oshkor  ko’rinishini  topamiz, 
  bo’lganda 
, 
shuning  uchun  ham 
  ko’phad 
  bo’lganda 
  ga  bo’linadi.  Shunday 
qilib,  - darajali ko’phadning   ta bo’luvchilari bizga ma’lum, bundan esa 
 
kelib chiqadi. Noma’lum ko’paytuvchi   ni esa 
 
shartdan topamiz; natijada: 
. 
Bu ifodani (2.4) ga qo’yib, kerakli ko’phadni aniqlaymiz: 
. 
 
 
 
    (13.5) 
Bu ko’phad Lagranj interpolyasion ko’phadi deyiladi, 
Bu formulaning xususiy hollarini ko’raylik: 
 bo’lganda. Lagranj ko’phadi 
ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq formulasini beradi: 
. 
Arap 
  bo’lsa,  u  vaqtda  kvadratik  interpolyasion  ko’phadga  ega  bo’lamiz,  bu 
ko’phad uchta nuqtadan o’tuvchi va vertikal o’qqa, ega bo’lgan parabolani aniqlaydi; 
. 
Endi  Lagranj  interpolyasion  formulasshshng  boshqa  ko’rinishini  keltiramiz. 
Buning uchun 
 
ko’phadni kiritamiz. Bundan hosila olsak, 
. 
Kvadrat qavs ichidagi ifoda 
 va 
 bo’lganda  nolga lanadi, chunki (
) 
ko’paytuvchi qatnashadi. Demak, 
. 
Shuning uchun ham, 
 Lagranj koeffisiyentini 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
i
n
j
j
i
j
n
j
i
nj
j
i
n
x
f
x
f
x
Q
x
f
x
L








)
(x
L
n
n
)
(
,
x
Q
j
n
i
j 
0
)
(
,

i
j
n
x
Q
)
(
,
x
Q
j
n
i
j 
i
x
x 
n
n




j
i
i
j
n
x
x
C
x
Q
)
(
)
(
,
C
1
)
(
)
(
,




 j
i
i
j
j
j
n
x
x
C
xl
Q





j
i
i
j
i
j
n
x
x
x
x
x
Q
)
(
,







n
j
j
i
i
j
i
j
n
x
x
x
x
x
f
x
L
0
)
(
)
(
1

n
)
(
)
(
)
(
1
1
0
0
0
0
1
1
1
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
L






2

n
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
2
1
2
0
2
1
0
1
2
1
0
1
2
0
0
2
0
1
0
2
1
2
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L




















n
i
i
n
x
x
x
0
1
)
(
)
(

 












n
k
j
i
i
n
x
x
x
0
1
)
(
)
(

j
x
x 
j
k 
i
j
x
х 






j
i
i
j
j
n
x
x
x
)
(
)
(
1





j
i
i
j
i
x
x
x
x

 
129
 
ko’rinishda yozish mumkin. Bundan esa Lagranj ko’phadi quyidagi ko’rinishga ega 
bo’ladi: 
. 
 
 
 
(13.6) 
Endi tugunlar bir xil uzoqlikda joylashgan:  
 
xususiy holni ko’ramiz. 
Bu holda soddalik uchun 
 almashtirish bajaramiz, u holda  
, 
bu yerda 
 
bo’lib, (2.6) Lagranj interpolyasion ko’phadi quyidagi ko’rinish-yai oladi: 
.   
 
(13.7)