Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Ilova 11.2. 
Mustaqil ish  topshiriqlari. 
1.  Xos qiymat va xos vektor va ularni topish usullari. 
2.   Matrisaning xos kiymat va xos vektorini toping 












5
,
0
5
,
1
1
5
,
1
2
5
,
0
1
5
,
0
1
 
 
Monitoring va baholash 
O’tilgan  mavzu  bo’yicha  og’zaki  so’rov,  tezkor  savol  javob  bo’yicha  1-2  ballgacha 
baholanadi 
Taqdimot slaydlari  
Matrisalarning minimal ko’phadlari  
 
tenglik o’rinli bo’lsa, u holda 
 
 
Minimal  ko’phadni  topish.  Endi  A.N.Krilov  metodini  ko’rib  chiqamiz.  Ixtiyoriy  noldan  farqli 
 vektorni olib, 
 
Gauss metodining to’g’ri yurishidagi barcha 
 qadam bajarilib, sistema quyidagi 
0
.
.
.
)
(
1
1
1
0








E
a
A
a
A
a
A
a
A
f
m
m
m
m
n
m
m
a
a
a
f





.
.
.
)
(
1
1
0



)
,
.
.
.
,
,
(
0
02
01
)
0
(


n
c
c
c
c
)
,
1
(
)
,
.
.
.
,
,
(
2
1
)
1
(
)
(
n
i
c
c
c
c
A
c
in
i
i
i
i





n

 
202
 
uchburchak shaklga keltirilsa, u holda 
 bo’lib, 
 vektorlar chiziqli erklidir. 
U  vaqtda  sistemadan  qaralayotgan  kombinasiyaning  koeffnsiyentlari 
  ni  topa 
olamiz. 
Agar  Gauss  metodidagi  to’g’ri  yurishning  faqat 
  ta  qadami  bajarilsa,  u  holda  faqat 
avvalgi 
 ta 
 torlar chiziqli erkli bo’ladi. Kerakli 
 
chiziqli kombinasiyani koordinatalarda yozib olamiz: 
 
Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra 
. 
 
 
 
Matrisaning  xos  vektorlarini  topish.  Endi  xos  vektorlarni  topish  masalasiga  o’tamiz. 
Faraz qilaylik, 
 
 
 

















n
n
n
n
n
n
d
q
d
q
b
q
b
q
d
q
b
q
b
q
b
q
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
3
23
2
1
1
3
13
2
12
1
0


)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

n
c
c
c
1
1
,
.
.
.
,
,
q
q
q
n
n

m
m
)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

m
c
c
c
)
(
)
0
(
)
2
(
2
)
1
(
1
.
.
.
m
m
m
m
c
c
q
c
q
c
q































.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
0
,
2
2
,
1
1
2
02
2
,
2
2
2
,
1
1
1
01
1
,
2
2
1
,
1
1
mn
n
m
n
m
n
m
m
m
m
m
m
m
m
m
c
c
q
c
q
c
q
c
c
q
c
q
c
q
c
c
q
c
q
c
q
0
.
.
.
)
(
1
1






E
p
A
p
A
A
P
n
n
n
)
,
...
,
2
,
1
(
)
(
)
0
(
n
i
c
c
A
i
i


)
(
)
0
(
)
2
(
2
)
1
(
1
.
.
.
n
n
n
n
c
c
p
c
p
c
p






i

m
m
m
m
c
q
q
q







.
.
.
)
(
2
2
1
1
)
0
(






 
203
MAVZU  12.  
XOS SONLARNING QISMIY MUAMMOSINI YECHISHNING ITERASION 
METODLARI 
 
O’quv mashg’ulotida ta’lim texnologiyasi modeli 
 
Vaqt: 80 min.   
Talabalar soni 50 
O’quv  mashg’ulotining 
shakli va turi 
Axborotli ma’ruza  
Ma’ruza  rejasi  /  o’quv 
mashg’ulotining tuzilishi   
4.  Qismiy 
muammo 
masalasida 
iterasion 
metodlar. 
5.  Eng  katta  xos  son  va  unga  mos  keladigan  xos 
vektorni topishda darajali metod. 
6.  Ikkinchi  xos  son  va  unga  mos  keladigan  xos 
vektorni topish. 
O’quv 
mashg’uloti 
maqsadi: 
Talabalarda 
Qismiy 
muammo 
masalasida 
iterasion metodlar, Eng katta xos son va unga mos 
keladigan  xos  vektorni  topishda  darajali  metod, 
Ikkinchi  xos  son  va  unga  mos  keladigan  xos 
vektorni 
topish 
to’g’risidagi 
bilimlarni 
shakllantirish 
Pedagogik vazifalar: 
Qismiy 
muammo 
masalasida 
iterasion metodlari bilan tanishtirish; 
Eng  katta  xos  son  va  unga  mos 
keladigan  xos  vektorni  topishda 
darajali metodni tasnifini berish; 
Ikkinchi  xos  son  va  unga  mos 
keladigan  xos  vektorni  topishni 
tushuntirish; 
O’quv faoliyati natijalari: 
Qismiy  muammo  masalasida  iterasion  metodlar 
aytib beradilar; 
Eng  katta  xos  son  va  unga  mos  keladigan  xos 
vektorni  topishda  darajali 
metodni  aytib 
beradilar; 
Ikkinchi  xos  son  va  unga  mos  keladigan  xos  vektorni 
topish tartibini aytib beradilar; 
 
Ta’lim usullari 
Ma’ruza, aqliy hujum 
Ta’lim shakli 
Jamoaviy 
Ta’lim vositalari 
Ma’ruza 
matni, 
texnika 
vositalari, 
videoproyektor va kompyuter  
Ta’lim berish sharoiti 
Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona 
Monitoring va baholash 
Og’zaki so’rov: tezkor-so’rov 
 

 
204
O’quv mashg’ulotining texnologik xaritasi  
 
Ish 
bosqic
hlari 
va 
vaqti 
Faoliyat 
ta’lim beruvchi 
ta’lim 
oluvchilar 
1-bosqich. 
O’quv 
mashg’ulotig
a  kirish  (5 
daq.) 
1.1. Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan 
natijalarni  yetkazadi.  Mashg’ulot  rejasi  bilan 
tanishtiradi. 
1.2.  Mavzu  bo’yicha  asosiy  tushunchalarni; 
mustaqil  ishlash  uchun  adabiyotlar  ro’yxatini 
aytadi. 
1.3.  O’quv  mashg’ulotida  o’quv  ishlarini 
baholash mezonlari bilan tanishtiradi 
Tinglaydilar,  yozib 
oladilar. 
 
Aniqlashtiradilar, 
savollar beradilar. 
2-bosqich. 
Asosiy 
( 65 daq.)  
2.1.  Tezkor-so’rov  (savol-javob),  aqliy  hujum    (Ilova 
1) orqali bilimlarni faollashtiradi. 
2.2.  Ma’ruza  mashg’ulotning  rejasi  va  tuzilishiga 
muvofiq  ta’lim  jarayonini  tashkil  etish  bo’yicha 
harakatlar tartibini bayon etadi 
Yozadilar. 
Javob beradilar 
 
 
3-bosqich. 
 Yakuniy 
(10 daq.) 
3.1.Mavzu 
bo’yicha 
yakunlaydi, 
qilingan 
ishlarni 
kelgusida 
kasbiy 
faoliyatlarida 
ahamiyatga  ega  ekanligi  muhimligiga  talabalar 
e’tiborini qaratadi. 
3.2.  Talabalar  ishini  baholaydilar,  o’quv 
mashg’ulotining  maqsadga  erishish  darajasini 
tahlil qiladi. 
 3.3.  Mustaqil  ish  uchun  topshiriq  beradi  va 
uning baholash mezonlarini yetkazadi . 
O’z-o’zini, 
o’zaro 
baholashni 
o’tkazadilar. 
Savol beradilar 
Topshiriqni 
yozadilar 
 
Ilova 12.1  
Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 
5.  Matrisaning xos son va xos vektorlari nima ? 
6.  Matrisaning xos son va xos vektorlari qanday hisoblanadi ? 
7.  Moduli bo’yicha eng katta xos soni tushintiring ?  
8.  Bazis nima ? 
9.  Vektorning berilgan bazisdagi koordinatalarini tushintiring 
10. Simmetrik matrisani tushintiring ?. 
11. Ermit va normal matrisalarni tushintiring , 
12. Xarakteristik tenglamalar deganda nimani tushinasiz ? 

 
205
Ilova 12.2. 
Mustaqil ish  topshiriqlari. 
 
1.  Danilevskiy va Laverye usullari 
2.   Misol. Danilevskiy va Lovere usullaridan foydalanib matrisaning xos son va xos 
vektorini toping. 












5
,
0
5
,
1
1
5
,
1
2
5
,
0
1
5
,
0
1
 
  
 
Monitoring va baholash 
O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javob natijalariga qarab 1-2 ballgacha 
baholanadi 
Taqdimot slaydlari  
Normal matrisa. Agar A matrisa o’zining qo’shmasi 
 bilan kommutativ, ya’ni 
  
Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod  
 bo’lib, ularga  mos keladigan chiziqli erkli  xos vektorlar 
 
bo’lsin. Bu yerda to’rt holni ko’rib chiqamiz: 
1-hol. A matrisaning xos sonlaridan bittasi moduli bo’yicha eng katta bo’lsin. Umumiylikka 
zarar yetkazmasdan xos sonlar quyidagi tartibda joylashgan deb faraz qilishimiz mumkin: 
. 
 
 
 
 
Biz 
,  ning  taqribiy  qiymatini  topish  usulini  ko’rsatamiz.  Ixtiyoriy  noldan  farqli 
  vektorni 
olib, uni A matrisa xos vektorlari bo’yicha yoyamiz: 
. 
Bu  yerdan 
  lar o’zgarmas sonlar  bo’lib,  ayrimlari nol  bo’lishi  ham  mumkin. 
  vektor ustida 
 matrisa yordamida almashtirish bajaramiz: 
. 
Bu yerdan 
 ekanligini hisobga olib, 
 
 
 
 
 
 
ga ega bo’lamiz.  
Endi 
 o’lchovli vektorlar fazosi 
 da ixtigriy 
 bazis olamiz. Shu bazisda 
,  
 
bo’lsin. (12.2) tenglikni koordinatalarda yozib chiqamiz: 
   
 
 
 
Shunga o’xshash 
   
 
 
 

A
A
A
AA



n



,
.
.
.
,
,
2
1
)
(
)
2
(
)
1
(
,
.
.
.
,
,
n
x
x
x
|
|
.
.
.
|
|
|
|
|
|
3
2
1
n








1

)
0
(
y
)
(
)
2
(
2
)
1
(
1
)
0
(
.
.
.
n
n
x
b
x
b
x
b
y




i
b
)
0
(
y
k
A




n
j
j
k
j
k
k
x
A
b
y
A
y
1
)
(
)
0
(
)
(
)
(
)
(
j
k
j
j
k
x
x
A





n
j
j
k
j
j
k
x
b
y
1
)
(
)
(

n
n
R
n
e
e
e
,
.
.
.
,
,
2
1
)
,
.
.
.
,
,
(
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(


k
n
k
k
k
y
y
y
y
)
,
.
.
.
,
,
(
2
1
)
(


nj
j
j
j
x
x
x
x
)
,
1
(
1
)
(
n
i
x
b
y
n
j
k
j
ij
j
k
i










n
j
k
j
ij
j
k
i
x
b
y
1
1
)
1
(


 
206
. 
  bo’lsin,  bunga  erishish  uchun  dastlabki  vektor 
  va 
  bazisni  kerakli 
ravishda tanlash kerak. Endi 
 va 
 deb (12.5) ni quyidagicha yozamiz: 
. 
 
      
. 
Bu yerdan esa yetarlicha katta   lar uchun 
  
Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish.  
, 
   
 
 
 
 
 
Natijada 
 
 
 
ga ega bo’lamiz. 
Yozuvni qisqartirish maqsadida 
 ning 
-ayirmasi deb ataluvchi quyidagi 
 
   
 
 
 
. 
 
 
 
Bu tengliklarni komponentlarda yozib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo’lamiz: 
. 
 
 
 
 
k
n
in
k
i
k
i
k
n
in
k
i
k
i
k
i
k
i
c
c
c
c
c
c
y
y

















.
.
.
.
.
.
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
)
(
)
1
(
0
1

i
c
)
0
(
y
n
e
e
e
,
.
.
.
,
,
2
1
1
i
ij
ij
c
c
d 
1
1



i

k
n
in
k
i
k
n
in
k
i
k
i
k
i
d
d
d
d
y
y















.
.
.
1
.
.
.
1
2
2
1
1
2
2
1
)
(
)
1
(
)
|
|
(
0
)]
|
|
(
0
1
[
)]
|
|
(
0
1
[
)]
|
|
(
0
1
[
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(
)
1
(
k
k
a
k
k
k
i
k
i
y
y
















k
)
(
)
1
(
1
k
i
k
i
y
y



|
|
.
.
.
|
|
|
|
|
|
3
2
1
n








,
.
.
.
)
(
)
2
(
2
2
)
1
(
1
1
)
(
n
k
n
n
k
k
k
x
b
x
b
x
b
y







.
.
.
.
)
(
1
)
2
(
1
2
2
)
1
(
1
1
1
)
1
(
n
k
n
n
k
k
k
x
b
x
b
x
b
y











)
(
1
)
2
(
1
2
2
2
)
(
1
)
1
(
)
(
.
.
.
)
(
n
n
k
n
n
k
k
k
x
b
x
b
y
y














)
(k
y

)
(
)
1
(
)
(
k
k
k
y
y
y






)
2
(
1
2
2
2
)
(
)
(
1
x
b
y
k
k







)
2
(
1
2
1
2
2
)
1
(
)
(
1
x
b
y
k
k









)
1
(
1
)
(
)
(
1
)
1
(
)
1
(
)
(
2
1
1









k
j
k
j
k
j
k
k
j
k
j
y
y
y
y
y
y





)
(
)
1
(
1
)
(
)
(
1
)
1
(
2
k
m
y
y
y
y
m
j
m
j
m
j
m
j










 
207
MAVZU  13.  
FUNKSIYALARNI INTERPOLYASIYALASH. LAGRANJ INTERPOLYASION 
FORMULASI 
 
O’quv mashg’ulotida ta’lim texnologiyasi modeli 
 
Vaqt: 80 min.   
Talabalar soni 50 
O’quv  mashg’ulotining 
shakli va turi 
Axborotli ma’ruza  
Ma’ruza  rejasi  /  o’quv 
mashg’ulotining 
tuzilishi   
4.  Interpolyasiyalash masalasi. 
5.  Lagranj interpolyasion formulasi. 
6.  Sistemaning koeffisiyentlarini hisoblash. 
O’quv 
mashg’uloti 
maqsadi: 
Talabalarda  Interpolyasiyalash  masalasi,  to’g’risidagi 
bilimlarni shakllantirish 
Pedagogik vazifalar: 
Interpolyasiyalash  masalasi  bilan 
tanishtirish; 
Lagranj interpolyasion formulasini 
tasnifini 
berish; 
Sistemaning 
koeffisiyentlarini 
hisoblashni 
tushuntirish; 
O’quv faoliyati natijalari: 
Interpolyasiyalash 
masalasi 
mohiyatini 
aytib 
beradilar; 
Lagranj interpolyasion formulasini o’zib beradilar; 
Sistemaning 
koeffisiyentlarini 
hisoblash 
tartibini 
aytib 
beradilar; 
 
Ta’lim usullari 
Ma’ruza, aqliy hujum 
Ta’lim shakli 
Jamoaviy 
Ta’lim vositalari 
Ma’ruza  matni,  texnika  vositalari,  videoproyektor  va 
kompyuter  
Ta’lim berish sharoiti 
Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona 
Monitoring 
va 
baholash 
Og’zaki so’rov: tezkor-so’rov