Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

 
MAVZU  16.  
INTERPOLYASION KVADRATUR FORMULALAR 
 
O’quv mashg’ulotida ta’lim texnologiyasi modeli 
 
Vaqt: 80 min.   
Talabalar soni 50 
O’quv  mashg’ulotining 
shakli va turi 
Axborotli ma’ruza  
Ma’ruza  rejasi  /  o’quv 
mashg’ulotining tuzilishi   
4.  Eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburchak, 
trapesiya va Simpson formulalari. 
5.  Eng sodda kvadratur formulari va ularning qoldiq hadlari. 
6.  Nyuton-Kotes kvadratur formulasi. 
O’quv 
mashg’uloti 
maqsadi: 
     Talabalarda  eng  sodda  kvadratur  formulalar: 
to’g’ri 
to’rtburchak, 
trapesiya 
va 
Simpson 
formulalari,  eng  sodda  kvadratur  formulalari  va 
ularning  qoldiq  hadlari,  ikkinchi  xos  son  va  unga 
mos  keladigan  xos  vektorni  topish  to’g’risidagi 
bilimlarni shakllantirish 
Pedagogik vazifalar: 
Eng  sodda  kvadratur  formulalar: 
to’g’ri  to’rtburchak,  trapesiya  va 
Simpson 
formulalari 
bilan 
tanishtirish; 
Eng  sodda  kvadratur  formulari  va 
ularning  qoldiq  hadlari  tasnifini 
berish; 
Nyuton-Kotes 
kvadratur 
formulasini tushuntirish; 
O’quv faoliyati natijalari: 
Eng 
sodda 
kvadratur 
formulalar: 
to’g’ri 
to’rtburchak,  trapesiya  va  Simpson  formulalarini 
aytib beradilar; 
Eng  sodda  kvadratur  formulari  va  ularning  qoldiq 
hadlarini tasniflaydilar; 
Nyuton-Kotes  kvadratur  formulasi  va  uni  aniq  integrallarni 
taqribiy hisoblashda qo’llash tartibini aytib beradilar; 
 
Ta’lim usullari 
Ma’ruza, aqliy hujum 
Ta’lim shakli 
Jamoaviy 
Ta’lim vositalari 
Ma’ruza  matni,  texnika  vositalari,  videoproyektor 
va kompyuter  
Ta’lim berish sharoiti 
Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona 































2
1
!
)
1
2
(
)
1
](
)
2
(
[
.
.
.
)
1
(
.
.
.
!
2
)
1
(
2
1
)
(
2
2
2
1
2
2
/
1
2
2
/
1
1
2
/
1
2
/
1
0
2
t
n
n
t
n
t
t
t
f
t
t
f
t
f
f
th
x
B
n
n


!
)
2
(
)
](
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
2
2
2
2
2
/
1
n
n
t
n
t
t
t
f
n






.
!
)
1
2
(
)
(
.
.
.
)
1
(
.
.
.
!
3
)
1
(
!
)
1
2
(
)
(
.
.
.
)
1
(
.
.
.
!
3
)
1
(
)
(
2
2
2
2
2
0
2
2
0
0
2
2
2
2
1
2
2
1
0
0
1
2



















n
n
u
u
u
f
u
u
f
u
f
n
n
t
t
t
f
t
t
f
t
f
th
x
E
n
n
n
!
)
2
(
]
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
2
2
2
2
2
0
n
n
t
t
t
f
n





 
217
Monitoring va baholash 
Og’zaki so’rov: tezkor-so’rov 
 
O’quv mashg’ulotining texnologik xaritasi  
Ish 
bosqic
hlari 
va 
vaqti 
Faoliyat 
ta’lim beruvchi 
ta’lim 
oluvchilar 
1-bosqich. 
O’quv 
mashg’ulotig
a  kirish  (5 
daq.) 
1.1.  Mavzuning  nomi,  maqsad  va  kutilayotgan 
natijalarni  yetkazadi.  Mashg’ulot  rejasi  bilan 
tanishtiradi. 
1.2.  Mavzu  bo’yicha  asosiy  tushunchalarni; 
mustaqil  ishlash  uchun  adabiyotlar  ro’yxatini 
aytadi. 
1.3.  O’quv  mashg’ulotida  o’quv  ishlarini 
baholash mezonlari bilan tanishtiradi 
Tinglaydilar,  yozib 
oladilar. 
 
Aniqlashtiradilar, 
savollar beradilar. 
2-bosqich. 
Asosiy 
( 65 daq.)  
2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob), aqliy hujum  (Ilova 1) 
orqali bilimlarni faollashtiradi. 
2.2.  Ma’ruza  mashg’ulotning  rejasi  va  tuzilishiga 
muvofiq  ta’lim  jarayonini  tashkil  etish  bo’yicha 
harakatlar tartibini bayon etadi 
Yozadilar. 
Javob beradilar 
 
 
3-bosqich. 
 Yakuniy 
(10 daq.) 
3.1.Mavzu bo’yicha yakunlaydi, qilingan ishlarni 
kelgusida  kasbiy  faoliyatlarida  ahamiyatga  ega 
ekanligi 
muhimligiga 
talabalar 
e’tiborini 
qaratadi. 
3.2. 
Talabalar 
ishini 
baholaydilar, 
o’quv 
mashg’ulotining  maqsadga  erishish  darajasini 
tahlil qiladi. 
 3.3.  Mustaqil  ish  uchun  topshiriq  beradi  va 
uning baholash mezonlarini yetkazadi . 
O’z-o’zini, 
o’zaro 
baholashni 
o’tkazadilar. 
Savol beradilar 
Topshiriqni 
yozadilar 
 
Ilova 16.1.  
Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 
  
1.  Aniq integral nima ? 
2.  Aniq integralning geometrik ma’nosini tushintiring ? 
3.  Aniq integral qiymatini doimo hisoblash mumkinmi? 
4.  Boshlang’ich funksiya nima ? 
 
Monitoring va baholash 
O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javob natijalari bo’yicha 1-3 ballgacha 
baholanadi. 
Ilova 16.2 
Mustaqil ish  topshiriqlari. 
 
1.  Taqribiy integrallash.To’g’ri to’rtburchak, trapesiya, Simpson formulalari.  
2.   Umumlashgan kvadratur formulalar. 

 
218
 
dx
x
x
1
2
1



   –Simpson usuli bilan yeching. 
Taqdimot slaydlari 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
To’g’ri to’rtburchaklar formulasi     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trapesiyalar formulasi     










b
a
b
a
f
a
b
dx
x
f
2
2
)
(
 
FOYDANILGAN ADABIYOTLAR 
 
1.  Golish L.V., Fayzullayeva D.M. Pedagogik texnologiyalarni loyihalashtirish va 
rejalashtirish.-T.: TDIU. 2010.-149b. 
2.  Azizxodjayeva N.N. Pedagogik texnologiyalari va mahorat. -T.: TDIU. 2010. 
3.  Avliyoqulov N. Zamonaviy o`qitish texnologiyalari. –Toshkent 2001. 
4.  Yuldoshev J., Usmonov S. Pedagog texnologiya asoslari. T. “O`qituvchi” 2004. 
5.   Tolipov U., Usmonboyeva M. Pedagogik texnologiya: nazariya va amaliyot. T.: 
“Fan”.2005  
 





 



2
)
(
)
(
b
a
f
a
b
dx
x
f
b
a
 
 
13-чизма 
14-чизма 
y
 
y
 
x  
x  
0 
0 
a  
a  
b  
b  
2
b
a 
 







2
b
a
f
 
)
(b
f
 
)
(a
f
 
 
 
 
 
y
 
y
 
x  
0 
0 
)
(a
f
 
)
(a
f
 
a  
a  
)
(b
f
 
)
(b
f
 
b
 
b  
2
b
a 
 







2
b
a
f
 







2
b
a
f
 
x  
2
b
a 
 
15-чизма 
16-чизма 

 
219
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - BO’LIM 
  
 
 
«HISOBLASH MATEMATIKASI»
  
FANIDAN AMALIYOT VA LABORATORIYA 
MASHG’ULOTLARI HAMDA MUSTAQIL 
ISHLAR ISHLANMASI 
 
 
 
 

 
220
 
MUNDARIJA 
 
1. 
Kirish …………………………………………………………….. 
221 
2. 
Xatolik nazariyasi. …………………………...…………………. 
222 
3. 
Chizikli bulmagan tenglamalarni yechish usullari. ……………. 
225 
4. 
Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini sonli yechish…….. 
230 
5. 
Chizikli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli  ………………… 
235 
6. 
Zeydel  metodi  yordamida  chizikli  algebraik  tenglamalar  sistemasini  takribiy  yechish.  
…………………….. 
239 
7. 
Funksiyalarni interpolyasiyalash formulalari. ……………….. 
246 
8. 
Birinchi  tartibli  differensial  tenglamalarni  Runge-Kutta  usuli  yordamida  takribiy 
yechish. ………………….  
251 
9. 
Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni takribiy yechish………………… 
257 
10.  Aniq integrallarni taqribiy hisoblash………………………. 
263 
10.  Adabiyotlar………………………………………………………. 
280 
 

 
221
K I R I SH 
 
 
Mazkur uslubiy ko’rsatma universitetning fizika-matematika fakulteti amaliy matematika va 
informatika,  matematika  va  mexanika  yo’nalishlari talabalariga «Hisoblash  matematikasi»  fanidan 
ma’ruza darslarida olingan bilimlarni laboratoriya mashg’ulotlarida mustahkamlash va talabalarning 
mustaqil ishlar bajarishi uchun mo’ljallangan. Uslubiy ko’rsatmada «Hisoblash matematikasi» fani 
o’quv  dasturiga  mos  holda  laboratoriya  mashg’ulotlarda  o’rganishga  va  sonli  yechishga 
mo’ljallangan  misollar,  masalalar,  algoritmlar,  Paskal  tilida  dasturlar  va  ularning  natijalari 
keltirilgan.  Tanlangan  misol  va  masalalar  talabalarning  ma’ruza  darslarida  olgan  bilimlarini 
mustahkamlash  va    EHMda  mutaxassislik  fanlari  bo’yicha  amaliy  masalalarni  yechish  mahoratini 
oshirib  borish  va  laboratoriya  ish  variantlarini  bajarishga  qaratilgan.  Uslubiy  ko’rsatma  bo’yicha 
misollar  yechish,  masalaning  algoritmini  tuzish  va  natijalarni  tahlil  qilishda  talaba  va 
o’qituvchining uzviy ishlashi nazarda tutiladi. 
 
Talabalar  laboratoriya  ishlarni  bajarishi  shartli  ravishda  takrorlash  va  mashq  qilish,  yangi 
bilimlarni mustaqil o’zlashtirish,  ijodiy xarakterdagi (izlanishni talab qiladigan) ishlarni bajarishga 
qaratilgan. 
 
Mavzular  bo’yicha  laboratoriya  ishlarini  bajarishdan  oldin  darslik  va  qo’llanmalardan 
tegishli  mavzuni  o’zlashtirish  va  uslubiy  ko’rsatmalarni  o’rganish,  shundan  keyin  namunaviy 
yechilgan  misollar  va  masalalar,  ularning  algoritmlari  va    dasturlari  bilan  tanishib  chiqish  tavsiya 
qilinadi. 
Uslubiy ko’rsatmada keltirilgan laboratoriya  ishlarni qo’yilgan talablar asosida bajarish va 
ular  bo’yicha  belgilangan  tartibda  hisobot  tayyorlash  nazarda  tutilgan.    Tayyorlangan  hisobotlar 
o’qituvchi rahbarligida talabalar bilan birgalikda muhokama qilinadi va  baholanadi. 
 
 
 

 
222
1. HISOBLASH MATEMATIKASINING PREDMETI VA METODI 
Reja: 
3.  Hisoblash matematikasining kelib chiqish tarixi. 
4.  Hisoblash matematikasining asosiy vazifasi va usuli. 
Tayanch  iboralar:  matematika,  metod  (usul),  model,  masala,  tenglama,  operator,  to’g’ri 
masala, teskari masala. 
Matematika turmush masalalarini yechishga bo’lgan ehtiyoj (yuzlar va hajmlarni o’lchash, 
kema harakatinn boshqarish, yulduzlar harakatini kuzatish va boshqalar) tufayli vujudga kelganligi 
uchun  ham  u  sonli  matematika,  ya’ni  hisoblash  matematikasi  bo’lib,  unnig  maqsadi  esa  masala 
yechimini  son  shaklida  topishdan  iborat  edi.  Bu  fikrga  ishonch  hosil  qilish  uchun  matematika 
tarixiga nazar tashlash kifoyadir. 
Vavilon  olimlarining  asosiy  faoliyati  matematik  jadvallar  tuzishdan  iborat  bo’lgan.  Shu 
jadvallardan bizgacha  yetib kelgaplaridan  biri  miloddan 2000 yil avval tuzilgan bo’lib, unda 1 dan 
60  gacha  bo’lgan  sonlarning  kvadratlari  keltirilgan.  Miloddan  avvalgi  747-yilda  tuzilgan  boshqa 
bir jadvalda Oy va Quyoshning tutnlish vaqtlari keltirilgan. Qadimgi misrliklar ham faol hisobchilar 
bo’lganlar.  Ular  murakkab  -  (alikvota  yoki  Misr  kasrlari  deb  ataluvchi)  kasrlarni  surati  birga  teng 
bo’lgan oddiy kasrlar yig’indisi (masalan: 
) shaklida ifodalovchi jadvallar tuzishgan 
va  chiziqli  bo’lmagan  algebraik  tenglamalarni  yechish  uchun  vatarlar  usulini  yaratishgan.  Grek 
matematiklariga  kelsak,  miloddan  avval  220-  yillar  atrofida  Arximed 
  soni  uchun 
 
tengsizlikni  ko’rsatdi.  Geronning  miloddan  avvalgi  100-yillar  atrofida  ushbu 
 
iterasion  metoddan  foydalanganligi  ma’lum.  Diofant  III  asrda  anikmas  tenglamalarni  yechishdan 
tashqari kvadrat tenglamalarni sonli yechiщ usulini yaratgan. 
IX  asrda  yashagan  buyuk  o’zbek  matematigi  Muhammad  ibn  Muso  al-Xorazmiy  hisoblash 
metodlarini  yaratishga  katta  hissa  qo’shgan.  Al-Xorazmiy 
  qiymatni  aniqladi,  matematik 
jadvallarni  tuzishda  faol  qatnashdi.  Abulvafo  al-Buzjoniy  960-yilda  sinuslar  jadvalini  hisoblash 
metodini  ishlab  chiqdi  va 
  ning  qiymatini  to’qqizta  ishonchli  raqami  bilan  berdi.  Bundan 
tashqari, 
  funksiyasidan  foydalandi  va  uning  qiymatlari  jadvalini  tuzdi.  XVII  asrda  ingliz 
matematigi J. Neper (1614,
 
1619), shvesiyalik I. Byurgi (1620), ingliz Brigs (1617), gollandiyalik 
A.  Blakk  (1628)  va  boshqalar  tomonidan  yaratilgan  logarifmik  jadvallar  Laplas  so’zi  bilan 
aytganda: «... hisoblashlarni qisqartirib, astronomlarning umrini uzaytirdi». 
 
Nihoyat,  1845  yilda  Adams  va  1846  yilda  Leveryelarning  hisablashlari  natijasida  Neptun 
sayyorasining mavjudligi va uning fazodagi o’rnini oldindan aytishlari hisoblash matematikasining 
buyuk g’alabasi  edi. Tadbiqiy  masalalarni sonli  yechish  matematiklar e’tiborini doim o’ziga tortar 
edi.  Shuning  uchun  ham  o’tgan  zamonning  buyuk  matematiklari  o’z  tadqiqotlarida  tabiiy 
jarayonlarni  o’rganish,  ularning  modellarinn  tuzish  va  modellarni  tadqiq  etish  ishlarinn  birga 
qo’shib  olib  borishgan.  Ular  bu  modellarii  tekshirish  uchun  shaxsus  hisoblash  metodlariii 
yaratishgan.  Bu  metodlarning  ayrimlari  Nyuton,  Eyler,  Lobachevskiy,  Gauss,  Chebishev,  Ermit 
nomlari  bilan  bog’liqdir.  Bu  shundan  dalolat  beradiki,  hisoblash  metodlarini  yaratishda  o’z 
zamonasining buyuk matematiklari shug’ullanishgan. 
Shuni  ham  aytish  kerakki,  limitlar  nazariyasi  yaratilgandan  so’ng  matematiklarning  asosiy 
diqqat-e’tibori  matematik  metodlarga  qat’iy  mantiqiy  zamin  tayyorlashga,  bu  mstodlar 
qo’llaniladigan  obyektlar  sonini  orttirishga,  matematik  obyektlarni  sifat  jihatdan  o’rganishga 
qaratilgan  edi.  Natijada  matematikaning  juda  muhim  va  ayni  paytda  ko’pnncha  qiyinchilik 
66
1
11
1
6
1
11
3




7
1
3
71
10
3













n
n
x
a
x
a
2
1
1416
,
3


0
2
1
sin






"
"tg

 
223
tug’diradigan  sohasi:  matematik  tadqiqotlarni  so’nggi  sonli  natijalargacha  yetkazish,  ya’ni 
hisoblash metodlari yaratishga kam e’tibor berilar edi, bu soha esa matematikaning tadbiqlari uchun 
juda zarurdir. 
Matematikaning  hozirgi  zamon  fan  va  texnikasining  xilma-xil  sohalaridagi  tadbiqlarida, 
odatda, shunday tipik matematik masalalarga duch kelinadiki, ularni klassik metodlar bilan yechish 
mumkin emas  yoki  yechish  mumkin  bo’lgan taqdirda  ham  yechim shunday  murakkab ko’rinishda 
bo’ladiki,  undan  samarali  foydalanishning  iloji  bo’lmaydi.  Bundan  tipik  matematik  masalalarga 
algebra  (odatda  tartibi  juda  katta  bo’lgan  chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemasiin  yechish, 
matrisalarning  teskarisini  topish,  matrisalarning  xos  sonlarini  topish,  algebraik  va  transsendent 
tenglaialar hamda bunday tenglamalar sistemasini yechish), matematik analiz (sonli integrallash va 
differensiallash, funksiyani yaqinlashtirish masalalari) hamda oddiy va xususiy hosilaviy differensi-
al tenglamalarni yechish masalalari va boshqalar kiradi. 
Fan  va  texnikaning  jadal  ravishda  rivojlanishi,  atom  yadrosidan  foydalanish,  uchuvchi 
apparatlar (samolyot, raketa) ni loyihalash, kosmik uchish dinamikasi, boshqariladigan termoyadro 
sintezi  muammosi  munosabati  bilan  plazma  fizikasini  o’rganish  va  shunga  o’xshash  ko’p 
masalalarni tekshirish va yechishni taqozo qilmoqda. Bunday masalalar o’z navbatida matematiklar 
oldiga yangidan-yangi hisoblash metodlarini yaratish vazifasini qo’yadi. Ikkinchi tomondan fan va 
texnika yutuqlari matematiklar ixtiyoriga kuchli hisoblash vositalarini bermoqda. Buning natijasida 
esa  mavjud  metodlarni  yangi  mashinalarda  qo’llash  uchun  qaytadan  ko’rib  chiqish  ehtiyoji 
tug’ilmoqda. 
Matematikada  tipik  matematik  masalalarning  yechimlarini  yetarlicha  aniqlikda  hisoblash 
imkonini  beruvchn  metodlar  yaratishga  va  shu  maqsadda  xozirgi  zamon  hisoblash  vositalaridan 
foydalanish yo’llarini ishlab chiqishga bag’ishlangan soha hisoblash matematikasi deyiladi. 
Hozirgi  zamon  hisoblash  matsmatikasi  jadal  rivojlanib  bormoqda.  Hisoblash  matematikasi 
qamragan  masalalar  turi  juda  ko’p.  Tabiiyki,  bu  masalalarni  yechish  metodlari  ham  xilma-xildir, 
shunga  qaramay  bu  metodlarning  umumiy  g’oyasi  haqida  so’z  yuritish  mumkin.  Buning  uchun 
avval funksional analizga tegishli bo’lgan ayrim tushunchalarni keltiramiz. Agar biror to’plamda u 
yoki bu yo’l bilan limit tushunchasi kiritilgan bo’lsa, u holda bu to’plam abstrakt fazo deyiladi. 
Elementlari  ketma-ketliklardan  yoki  funksiyalardan  iborat  bo’lgan  fazo  funksional  fazo 
deyiladi.  Biror 
  funksional  fazoni  ikkinchi  bir 
  funksional  fazoga  akslantiradigan  A  amal 
operator  deyiladi.  Agar  operatorning  qiymatlari  tashkil  etgan 
  fazo  sonli  fazo  bo’lsa,  u  holda 
bunday operator funksional deyiladi. 
Hisoblash matematikasida uchraydigan ko’p masalalarni  
                                                            (1.1)  
shaklida  yozish  mumkin,  bu  yerda  x  va  u  berilgan 
  va 
  funksional  fazolarning  elementlari 
bo’lab, 
  -  operator  yoki  xususiy  holda  funksionaldir.  Agar 
  operator  va  x  element  haqida 
ma’lumot  berilgan  bo’lib,  u  ni  topish  lozim  bo’lsa,  bunday  masala  to’g’ri  masala  deyiladi, 
Aksincha, A za u haqida ma’lumot berilgan bo’lib,   ni topish kerak bo’lsa, bunday masala teskari 
masala deyiladi. Odatda teskari masalani yechish ancha murakkabdir. Bu masalalar har doim ham 
aniq yechilavermaydi. Bunday hollarda hisoblash matematikasiga murojaat qilinadi. 
Ba’zan  masalani  aniq  yechish  ham  mumkin,  lekin  klassik  matematika  metodlari  bilan 
kerakli sonli qiymat olish uchun juda ko’p hisoblashlar talab qilinadi. Shuning uchun ham hisoblash 
matematikasi  zimmasiga  konkret  masalalarni  yechish  uchun  oqilona  va  tejamkor  metodlar  ishlab 
chiqish  yuklanadi  (masalan,  chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemasini  yechishda  Kramer 
formulalariga nisbatan Gauss metodi ancha tejamkor metoddir). 
Hisoblash  matematikasida  yuqoridagi  masalalarni  hal  qilishning  asosiy  mohiyati 
, 
 
fazolarni va 
 operatorni hisoblash uchun qulay bo’lgan mos ravishda boshqa 
 fazolar va 
 
operator  bilan  alamashtirishdan  iboratdir.  Ba’zan  faqat 
  va 
,  fazolar  yoki  faqatgina  ulardan 
1
R
2
R
2
R
Ax
y 
1
R
2
R
A
A
x
1
R
2
R
А
2
1
, R
R
A
1
R
2
R

 
224
birortasini,  ba’zan  esa  faqat  A  operatorni  almashtirish  kifoyadir.  Bu  almashtirishlar  shunday 
bajarilishi kerakki, natijada hosil bo’lgan yangi 
 
masalaning yechimi biror ma’noda berilgan (1) masalaning yechimiga yaqin bo’lsin va bu yechimni 
nisbatan ko’p mehnat sarflamasdan topish mumkin bo’lsin. 
Bunga  misol  sifatida  shunn  ko’rsatish  mumkinki,  odatda  matematik  fizika  tenglamalari  u 
yoki bu strukturaga ega bo’lgan algebraik tenglamalar sistemasiga keltirilib yechiladi. 
Demak, hisoblash matematikasi oldidagi asosiy masala funksional fazolarda to’plamlarni va 
ularda  aniqlangan  operatorlar  (funksionallar)  ni  yaqinlashtirish  hamda  hozirgi  zamon  hisoblash 
mashinalari  qo’llaniladigan  sharoitda  masalalarni  yechish  uchun  oqilona  va  tejamkor  algoritm  va 
metodlar ishlab chiqishdan iboratdir.