Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

 
26 























10
1
,
1
3
,
1
1
,
1
3
,
1
2
,
1
3
,
1
2
,
1
3
,
3
5
,
3
1
,
1
3
,
1
3
,
1
10
10
2
,
2
2
,
1
1
,
1
3
,
1
7
,
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 
Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 
1. Chiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari necha turga 
bo’linadi? 
2. Chiziqli tenglamalar sistemasi yechishning Gauss usulini tushuntirib 
bering. 
3. Chiziqli  tenglamalar  sistemasi  yechishda  Gaussning  bosh  elementni 
tanlash usulini tushuntirib bering. 

 
204
4. Chiziqli  tenglamalar  sistemasini  yechishning  Zeydel  usulini 
tushuntirib bering. 
5. Chiziqli  tenglamalar  sistemasini  yechishning  Zeydel  usulining 
yaqinlashish shartini tushuntirib bering 
 
4.  Chziqlimas  tenglamalar  sistamasini  yechishning  sonli  usullari. 
Oddiy iteartsiyalar, Zeydel,  Nyuton ussullari 
Ishning  maqsadi:  Chiziqli  bo’lmagan  tenglamalar  sistemasining  yechimlarini  taqribiy 
hisoblash  usullarini  o’rganish,  hisoblash  ishlarini  bajarish,  hisoblash  dasturini  tuzish  va 
natijalarni tahlil qilish. 
 
Chiziqli  bo’lmagan    tenglamalar  sistemasini  taqribiy  yechishda  Nyuton  va  oddiy  iterasiya 
usullari  qo’llaniladi.    Nyuton  va  oddiy  iterasiya  usullarinng  chiziqli  bo’lmagan  ikkita  tenglama 
sistemasi uchun qo’llanilishini qaraylik. 









0
,
0
,
y
x
G
y
x
F
                                                                (1) 
tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Nyuton usuliga ko’ra taqribiy hisoblashlar 



















n
n
n
y
n
n
n
n
n
x
n
n
y
x
J
y
y
y
x
J
x
x
,
,
1
1
                                                       (2) 
iterasion formulalardan hisoblanadi. 
Bu yerda  
















n
n
n
n
x
n
n
n
n
x
n
y
n
n
y
n
n
n
n
y
n
n
n
x
y
x
G
y
x
G
y
x
F
y
x
F
y
x
G
y
x
G
y
x
F
y
x
F
,
,
,
,
,
,
,
,
,
'
'
'
'




, 










0
,
,
,
,
,
'
'
'
'


n
n
y
n
n
x
n
n
y
n
n
x
y
x
G
y
x
G
y
x
F
y
x
F
y
x
J
 
Dastlabki yaqinlashish 


0
0
, y
x
 grafik yoki boshqa usullar yordamida aniqlanadi. 
Misol.   Quyidagi 















0
4
,
0
1
2
,
3
2
3
y
xy
y
x
G
y
x
y
x
F
 
sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang. 
 
Yechish.    Grafik usulda  dastlabki yaqinlashish 
7
,
1
2
,
1
0
0


y
x
 aniqlangan bo’lsin. U 
holda 


1
3
2
6
,
2
3
2
0
0



xy
y
y
x
y
x
J
, demak     


910
,
97
40
,
9
91
,
4
40
,
3
64
,
8
7
,
1
;
2
,
1



J
 
(2) formulaga ko’ra 
 

 
205




















6610
,
1
0390
,
0
7
,
1
1956
,
0
91
,
4
434
,
0
64
,
8
91
,
97
1
7
,
1
2349
,
1
0349
,
0
2
,
1
40
,
9
1956
,
0
40
,
3
434
,
0
91
,
97
1
2
,
1
1
1
y
x
 
Hisoblashlarni  shu  singari  davom  qilib 
6615
,
1
2343
,
1
2
2


y
x
  topamiz  va 
hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz. 
Oddiy iterasiya usuli. 
(1) sistemani 









y
x
y
y
x
x
,
,
2
1


                                                                (3) 
ko’rinishda yozib olamiz.  




y
x
y
x
,
,
,
2
1


 funkiyalar iterasiyalovchi funksiyalar deb yuritiladi. 
Taqribiy yechimni topish algoritmi 




,.....
3
,
2
,
1
,
0
,
,
2
1
1
1








n
y
x
y
y
x
x
n
n
n
n
n
n


                                     (4) 
ko’rinishda beriladi. Bu yerda 


0
0
, y
x
 - birinchi yaqinlashish qiymatlari. 
(4) iterasion hisoblash jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi, agarda 





















1
1
2
2
2
1
1
1
q
y
x
q
y
x




                                               (5) 
tengsizliklar bajarilsa. 
 
MISOL.  Quyidagi 











0
2
6
0
3
6
3
3
3
3
y
y
x
x
y
x
 
sistemaning yechimini oddiy iterasiya usulida 0,001 aniqlikda taqribiy hisoblang. 
YeChISh.    Iterasiya usulini qo’llash uchun berilgan sistemani 













3
1
6
2
1
6
3
3
3
3
y
x
y
y
x
x
 
ko’rinishda yozib olamiz. 
 
1
0
,
1
0




y
x
 kvadrat sohani qaraylik. Agar 


0
0
, y
x
 shu sohaga qarashli  bo’lsa, u 
holda   




1
,
0
,
1
,
0
0
2
0
0
1




o
y
x
y
x


  o’rinli  bo’ladi.  Demak  shu  sohadan 


0
0
, y
x
 
ixtiyoriy    tanlaganimizda  ham 


n
n
y
x ,
  ham  o’sha  sohaga  tegishli  bo’ladi.  Bundan  esa  (5) 
yaqinlashish shartining bajarilishi kelib chiqadi, ya’ni 
























1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x




 

 
206
o’rinli  bo’ladi. Demak, qaralayotgan kvadrat sohada  yagona  yechim  mavjud  va uni  iterasiya usuli 
yordamida taqribiy hisoblash mumkin. Dastlabki yaqinlashishni 
2
1
,
2
1
0
0


y
x
 deb olaylik. 
;
333
,
0
6
8
1
8
1
3
1
;
542
,
0
6
8
1
8
1
2
1
1
1








y
x
 
;
354
,
0
6
1233
,
0
3
1
;
533
,
0
6
19615
,
0
2
1
2
2






y
x
 
Hisoblashlarni shu singari davom ettirib  
;
351
,
0
;
532
,
0
;
351
,
0
;
533
,
0
4
4
3
3




y
x
y
x
 
bo’lishini  aniqlaymiz.   
5
,
0
72
34
2
1


 q
q
  bo’lganligidan  va  uchinchi  va 
to’rtinchi  taqribiy  yechimlarning  kasr  qismidagi  uchta  raqamining  mos 
kelishi  talab  qilingan  aniqlikka  erishilganini  bildiradi.  Taqribiy  yechim 
sifatida 
;
351
,
0
;
532
,
0


y
x
 qiymatlarni olish mumkin. 
Misollar 
 
1.  Dastlabki yaqinlashishni grafik usulda aniqlang. 
2.  Yaqinlashish sharti bajarilishini tekshiring. 
3.  Nyuton va iterasiya usullarini qo’llab chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasining taqribiy 
yechimlarini 0,001 aniqlikda hisoblang. 
  
№ 1 










2
cos
2
2
,
1
1
sin
y
x
y
x
 
№ 2 










3
cos
5
,
0
1
cos
y
x
y
x
 
№ 3 










7
,
0
1
cos
2
2
sin
x
y
y
x
 
№ 4 










1
5
,
0
sin
2
5
,
1
cos
y
x
y
x
 
№ 5 













0
2
cos
1
5
,
0
sin
x
y
y
x
 
№ 6 










6
,
1
2
sin
8
,
0
5
,
0
cos
x
y
y
x
 
№ 7 













8
,
0
1
sin
3
,
1
1
sin
y
x
y
x
 
№ 8 











4
,
0
sin
0
1
cos
2
y
x
x
y
 
№ 9 










1
2
sin
2
5
,
0
cos
x
y
y
x
 
№ 10 













5
,
0
2
cos
5
,
1
2
sin
y
x
y
x
 
№ 11 










2
cos
2
2
,
1
1
sin
x
y
x
y
 
№ 12 













8
,
0
1
sin
3
,
1
1
sin
y
x
y
x
 
№ 13 










7
,
0
1
cos
2
2
sin
y
x
x
y
 
№ 14 










1
5
,
0
sin
2
5
,
1
cos
x
y
x
y
 
№ 15 













0
2
cos
1
5
,
0
sin
y
x
x
y
 
№ 16 










6
,
1
2
sin
8
,
0
5
,
0
cos
y
x
x
y
 
№ 17 













8
,
0
1
sin
3
,
1
1
sin
x
y
x
y
 
№ 18 











4
,
0
sin
0
1
cos
2
x
y
y
x
 
№ 19 










1
2
sin
2
5
,
0
cos
y
x
x
y
 
№ 20 













5
,
0
2
cos
5
,
1
2
sin
x
y
x
y
 

 
207
№ 21 










2
cos
2
1
1
sin
y
x
y
x
 
№ 22 










2
cos
8
,
0
1
cos
y
x
y
x
 
№ 23 










1
1
cos
6
,
1
2
sin
x
y
y
x
 
№ 24 










2
5
,
0
sin
2
2
,
1
cos
y
x
y
x
 
№ 25 













0
2
cos
2
,
1
5
,
0
sin
x
y
y
x
 
№ 26 










8
,
20
2
sin
1
51
,
0
cos
x
y
y
x
 
 
Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 
1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasining dastlabki yaqinlashishi 
qanday aniqlanadi? 
2.  Chiziqli  bo’lmagan  tenglamalar  sistemasini  taqribiy  yechish usullari 
ni tushuntirib bering? 
3.  Chiziqli  bo’lmagan  tenglamalarni  taqribiy  yechish  usullari  xatoligi 
va yaqinlashishi qanday aniqlanadi? 
 
 
5.  Matrisaning  xos  son  va  xos  qiymat  masalasini  yechishning  sonli 
ussullari. Iteratsiya, A.N.Krilov 
 
 
 
 
6. Interpolyatsiya masalasi. Logranj interpolystsion ko`phadi. Nyuton 
interpolystsion ko`phadi. 
 
Ishning  maksadi:  Interpolyasion  ko’phadlar  va  ularni  qurish,  berilgan  nuqtada 
funksiyaning  qiymatini  taqribiy  hisoblashni  o’rganish,  masalani  yechish  algoritmini  tuzish  va 
EHMda ijro etish. 
 
Masalaning qo’yilishi 
 
x
f
y 
  funksiya  berilgan  bo’lsa, 
x
  ning  mumkin  bo’lgan  ixtiyoriy  qiymatiga 
y
  ning 
qiymati  mos  qo’yilgan  bo’ladi. 
 
x
y
  ni  aniqlash  har  doim  ham  oson  bo’lmaydi.  Masalan,  agar 
x
 
parametr  o’rnida  kelsa 
 
x
y
  marakkab  masalaning  yechimi  deb  qaralishi  mumkin  yoki 
 
x
y
  ning 
qiymatlari  qimmat  turuvchi  taqiqotlar  natijasida  aniqlangan  bo’lsa.  Bunda  funksiyaning  qiymatlar 
jadvalini  tuzishimiz  mumkin,  lekin  argumentning  juda  ko’p    qiymatlarida  buni  bajarish  imkoni 
bo’lmaydi. 
Bunday hollarda odatda interpolyasion formulalar qo’llaniladi. 
 


b
a,
  kesmada 
n
x
x
x
,....,
,
1
0
      argumentning 
1

n
  ta  har  xil  qiymatiga  mos  keluvchi 
 
x
f
y 
funksiyaning  qiymatlari 
 
0
0
y
x
f

, 
 
1
1
y
x
f

,…, 
 
n
n
y
x
f

    berilgan  bo’lsin. 
n
x
x
x
,....,
,
1
0
  berilgan  tugunlarda 
 
x
f
y 
funksiya  bilan  bir  xil  qiymat  qabul  qiladigan  va 
darajasi 
n
 dan oshmaydigan 
 
х
n

 ko’pxadni qurish talab qilinsin, ya’ni 
 


.
,...,
2
,
1
,
n
i
y
х
i
i
n



 

 
208
 
х
n

-  interpolyasion  ko’pxad, 
n
x
x
x
,....,
,
1
0
  interpolyasiya  tugunlari,  haralayotgan 
masala esa interpolyasiya masalasi deb yuritiladi. 
Geometrik nuqtai nazardan bu   


i
i
y
х ,
 nuqtalardan o’tuvchi 
 
х
y
n


 chiziqni topishni 
bildiradi (Rasm 1). 
 
Rasm 1. 
 
Interpolyasiya  masalasi  cheksiz  ko’p  yechimga  ega  bo’lishi  yoki  umuman  yechimga  ega 
bo’lmasligi mumkin.  
 
Ko’pincha  interpolyasion  formulalar  argumentning  oraliq  qiymatlari  uchun 
 
x
f
y 
 
funksiyaning qiymatini topishda foydalaniladi.  
Bunda  nuqta 
х
 


n
х
х ,
0
oraliqda  yotganda 
interpolyasiya, 


n
х
х ,
0
kesmadan tashqarida yotganda ekstropolyasiyalash masalasi deb yuritiladi. 
 
Interpolsion  ko’pxadning  umumiy  ko’rinishdagi  turli  ifodalanishlari  mavjud:  Nyuton, 
Lagranj, Gauss, Sterling, Bessel va boshqalar.  
Nyuton,  Lagranj  formulalari  hisoblashlarda 
qulay bo’lib EHMda va qo’lda hisoblashlarda aniqlikni nazorat qilishni ta’minlaydi, qolgan boshqa 
formalar interpolyasiya tugunlari joylashishining xususiy xollarida o’rinli.