Amaliy matematika” fakulteti “amaliy matematika va informatika” yo‘nalishi 104. 19- guruh shayzakov hayitboyning

Ta’rif. Agar 𝜀 → 0 da (1.5) integral aniq limitga intilsa , bu limitni maxsus integralning Koshi bo’yicha bosh qiymati deyiladi va quyidagicha yoziladi.

lim ∫

𝜑⁽𝜁⁾𝑑𝜁

= 𝑣𝑝 ∫

𝜑⁽𝜁⁾𝑑𝜁

𝜀→0 _Г
𝜁 − 𝜁_0
Г 𝜁 − 𝜁₀

Yuqorida aytganlarimizdan ravshanki , agar integral oddiy ma’noda (ya’ni xosmas integral sifatida) mavjud bo’lsa, u holda bu integral maxsus integral sifatida ham mavjud bo’ladi va uning bosh qiymati oddiy integral qiymati bilan bir hil bo’ladi. Bunga teskari fikr noto’g’ri. Shuning uchun mahsus integralning bosh qiymatini vp belgisiz ham yozadilar. Endi maxsus integralning mavjudlik shartini ko’raylik.
1.2.Teorema. Agar 𝜑(𝑧) funksiya Г chiziqda Gyolder (H) shartni qanoatlantirsa ya’ni Г ning ixtiyoriy ikki nuqtasida

|𝜑⁽𝑧₁⁾ − 𝜑(𝑧₂₎| ≤ 𝐴^|𝑧₁ − 𝑧₂^|𝜆 0 < 𝜆 ≤ 1 ⁽1.6⁾

Tengsizlik bajarilsa, integrelning Koshi bo’yicha bosh qiymati mavjuddir.
(1.6) tengsizlikdagi A-musbat son bo’lib, Gyolder o’zgarmasi , λ esa Gyolder ko’rsatkichi deyiladi.
Isbot. Avvolo tekshirilayotgan maxsus intergralni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz :

∫
Г−𝑌

𝜑⁽𝜁⁾𝑑𝜁



𝜁 − 𝜁₀

= ∫

Г−𝑌
𝜑⁽𝜁⁾ − 𝜑⁽𝜁₀⁾

𝜁 − 𝜁₀
𝑑𝜁 + 𝜑(𝜁₀) ∫
Г−𝑌
𝑑𝜁



𝜁 − 𝜁₀

(1.7)

Γ chiziqning oxirgi nuqtalarini a va b orqali belgilaymiz . U holda

𝑑𝜁
∫

= ln⁽𝜁 − 𝜁

⁾|^𝜁1+ ln(𝜁 − 𝜁 )|
^𝑏= ln ^{𝑏 − 𝜁0} − ln ^{𝜁1 − 𝜁0}.

Г−𝑌

𝜁 − 𝜁₀
⁰ 𝑎
⁰ 𝜁₂

𝑎 − 𝜁₀

𝜁₂ − 𝜁₀

ln⁽𝜁 − 𝜁₀⁾ ko’p qiymatli funksiya bo’lganligi tufayli, uning aniq analitik tarmog’ini ajratib olish uchun tekislikda bu funksiyaning tarmoqlanish nuqtalarini birlashtiruvchi qirqim o’tkazish kerak.

Shu sababli avvalgi tenglikdagi ln ^𝑏−𝜁0 deganda ln ^𝑏−𝜁
funksiyaning Γ=ab egri

𝑎−𝜁₀
𝑎−𝜁

chiziq bo’ylab qirqilgan tekislikdagi analitik tarmoqning Γ dan chap tomonda 𝜁₀
nuqtada qabul qilingan qiymati tushuniladi. Lekin

ln ^{𝜁2 − 𝜁0} = ln |^{𝜁2 − 𝜁0}| + 𝑖^[arg (𝜁
− 𝜁
)−arg (𝜁
− 𝜁 )^]

𝜁₁ − 𝜁₀

𝜁₁ − 𝜁₀
2 0 2 0

Shart bo’yicha ^|𝜁₂ − 𝜁₀^| = ^|𝜁₁ − 𝜁₀^| bo’lgani uchun yuqoridagi ifodaning o’ng tomonidagi birinchi qo’shiluvchi nolga teng bo’ladi. O’rta qavslar ichidagi ifoda esa
^̅𝜁^̅₀^̅𝜁^̅₁^̅ va 𝜁^̅̅₀^̅𝜁^̅₂^̅ vektorlar orasidagi α burchakka teng, oxirgi aytganlarimizga asosan quyidagini hosil qilamiz:

lim ln
𝜀→0
𝜁₂ − 𝜁₀

𝜁₁ − 𝜁₀
= −𝑖𝜋 (1.8)

Ikkinchi tomondan, yetarli kichik ε uchun Gyolder shartiga asosan

𝜑⁽𝜁⁾ − 𝜑⁽𝜁₀⁾
|
𝜁 − 𝜁₀
𝐴

0
^{| ≤ |}𝜁 − 𝜁

_|1−𝜆

Bo`ladi, demak, ushbu limit mavjud:
φ⁽ζ⁾ − φ(ζ₀)

φ⁽ζ⁾ − φ(ζ₀)

lim ∫
dζ = ∫
dζ (1.9)

ε→0
Г−`Y
ζ − ζ_0
Г ζ − ζ₀

Shu bilan birga oxirgi integralni oddiy ma’noda tushinish mumkin (ya’ni integral Koshi ma’nosida emas).Shunday qilib, (1.7) tenglikning o’ng tomonidagi ikkala qo’shiluvchi ham 𝜀 → 0 da aniq limitga intiladi; bu limit, ta’rifga asosan, (1.4) integralning boshqiymatidir. Bu bosh qiymat (1.7), (1.8) va (1.9) tengliklarga asosan quyidagi formula bilan ifodalanadi:

φ⁽ζ⁾
∫
dζ = ∫ ^{φ(ζ) − φ(ζ0)} dζ + 𝜑⁽𝜁
⁾ [ln ^{𝑏 − 𝜁0} + 𝜋𝑖] . (1.10)

Г−`𝑌

ζ − ζ_0
Г ζ − ζ₀

⁰ 𝑎 − 𝜁₀

Xususiy holda Γ yopiq kontur bo’lsa, (1.10) da a=b deb, quyidagi tenglikka erishamiz:

φ⁽ζ⁾
∮
dζ = ∮ ^{φ(ζ) − φ(ζ0)} dζ + 𝜑⁽𝜁
⁾ [ln ^{𝑏 − 𝜁0} + 𝜋𝑖] . (1.11)

_Г ζ − ζ_0
Г ζ − ζ₀

⁰ 𝑎 − 𝜁₀

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   Г.С.Литвинчук. “Краевые задачи и сингулийарные интегральные уравнения со сдвигом”. “Наука” Москва 1977.
   
2. 
   Л.А.Лйустерник , В.И.Соболев. «Элементи функционального анализа» “наук”москва 1965.
   
3. 
   Ф.Д.Гахов. “Краевые задачи” Изд “Наука” Москва 1977
   
4. 
   Н.И.Мусхлишвили. “Сингулийарные интегральные уравнения”. Изд “Наука” Москва 1968.
   

Refernces

1. 
   G.S. Litvinchuk. “Boundary value problems and singular integral equations with a shift”. "Science" Moscow 1977.
   
2. 
   L. A. Lyusternik, V. I. Sobolev. "Elements of functional analysis" "sciences" Moscow 1965.
   
3. 
   F.D. Gakhov. "Boundary value problems" Publishing house "Science" Moscow
   

1977

4. 
   N.I. Muskhlishvili. “Singular integral equations”. Publishing House "Science"
   

Moscow 1968.