Amaliy matematika” fakulteti “amaliy matematika va informatika” yo‘nalishi 104. 19- guruh shayzakov hayitboyning

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI MIRZO ULUGʻBEK NOMIDAGI O‘ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETINING JIZZAX FILIALI

“AMALIY MATEMATIKA” FAKULTETI
“AMALIY MATEMATIKA VA INFORMATIKA” YO‘NALISHI 104.19- GURUH SHAYZAKOV HAYITBOYNING
“KOMPLEKS ANALIZ”
FANIDAN
Mustaqil ishi
Mavzu: Koshi tipidagi integral
Jizzax 2022
Koshi tipidagi integralning chegaraviy qiymatlari tog’risida. Bizga ma’lumki, Koshi tipidagi

1

Г
2𝜋𝑖 ^∫
𝜑⁽𝜁⁾𝑑𝜁



𝜁 − 𝑧

Integral 𝑧 ∈ Г nuqtalarda analitik funksiyani ifodalaydi. Endi biz z nuqta G chiziqda yotgan holini tekshiramiz.U holda bu integral hosmas integral bo’ladi va uni tekshirish uchun avvalo haqiqiy o’zgaruvchili sohadagi hosmas integrallarga oid asosiy tushunchalarni eslatib o’tamiz. Haqiqiy o’zgaruvchili f(x) funksiya (a;b) intervalda berilgan bo’lib bu intervalning biror ichki c nuqtasida cheksizlikka aylansin. Agar
с−𝜀₁ 𝑏
lim [∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥𝑑𝑥)]

𝜀₁→0 _𝛼
𝜀₂→0
𝑐+𝜀₂

Limit mavjud bo’lsa, o’sha limit chegaralanmagan f(x) funksiyaning (a,b) intervaldagi hosmas integrali deyiladi. Bu ta’rifning muhim joyi shundan iboratki
𝜀₁ 𝑣𝑎 𝜀₂ kichik miqdorlar ixtiyoriy qonun bilan birbiriga bog’liq bo’lmay nolga intiladi. Matemematik analiz kursidan ma’lumki, f(x) funksiyaning x=c da cheksizlikka aylanish tartibi birdan kichik bo’lsa, ya’ni

^[𝑓(𝑥)^] < ^𝑀
[𝑥−𝑐^]𝑘
Integral xosmas bo’lib, quyidagicha ifodlanadi.
(1.1)

^𝑏 𝑑𝑥
∫
𝑐−𝜀₁
= lim [∫
𝑑𝑥 ^𝑏
+ ∫
𝑑𝑥

] = ln
𝑏 − 𝑐

+ lim ln

𝜀₁

(1.2)

_𝑎 𝑥 − 𝑐
𝜀₁→0 _𝑎
𝜀₂→0
𝑥 − 𝑐
_𝑐+𝜀2 𝑥 − 𝑐
𝑐 − 𝑎
𝜀₁→0
𝜀₂→0
𝜀₂

Oxirgi ifodaning limiti 𝜀₁ va 𝜀₂ larning nolga intilish usuliga bog’liq. Demak bu integral xosmaslik ma’nosida har doim mavjud emas.Shuning uchun uni maxsus (singulyar) integral deyiladi. Ammo, 𝜀₁ va 𝜀₂ o’rtasida biror bog’lanish o’rnatilsa unga aniq ma’no berish mumkin.
Ravshanki, agar
𝜀₁ = 𝜀₂ = 𝜀 (1.3)
deb hisoblasak, tekshirilgan integral aniq bir ma’noga ega ya’ni mavjud bo’ladi.
Shunday qilib, quyidagi ta’rifga keldik.

1. 
   Ta’rif. Ushbu
   

𝑐−𝜀
lim [∫
𝑑𝑥 ^𝑏
+ ∫
𝑑𝑥
]

𝜀→0 _𝑎
𝑥 − 𝑐
_𝑐+𝜀 𝑥 − 𝑐

Limitni maxsus (1.1) integralning Koshi bo’yicha bosh qiymati deyiladi va

𝑏
𝑣𝑝 ∫
𝑎
𝑑𝑥



𝑥 − 𝑐

Orqali belgilanadi, bunda v va p bosh qiymat degan fransuz so’zlari valeurprincipal ning boshlang’ich harflari (1.2) va (1.3) ni e’tiborga olsak quyidagini hosil qilamiz:

Endi umumiyroq
𝑏
𝑣𝑝 ∫
𝑎
𝑑𝑥



𝑥 − 𝑐
= ln
𝑏 − 𝑐



𝑐 − 𝑎

𝜑⁽𝜁⁾𝑑𝜁
∫
_Г 𝜁 − 𝑧

(1.4)

Integralni tekshiramiz bunda Γ –biror silliq chiziq. Agar (1.4) ifodadagi z nuqta Γ chiziqqa tegishli bo’lsa, bu nuqtani ζ₀ orqali belgilab, ushbu
𝜑⁽𝜁⁾𝑑𝜁

∫
_Г 𝜁 − 𝜁₀
(1.4)

Xosmas integralni kompleks sohada tekshiramiz. Buning uchun nuqtani
𝜁₀ markaz qilib, yetarli kichik ε radiusli shunday aylana chizamizki, u Γ chiziqni qandaydir nuqta 𝜁₁ 𝑣𝑎 𝜁₂ nuqtalarda kesib o’tsin, `Y orqali yoyni belgilab
𝜑⁽𝜁⁾𝑑𝜁

Integralni tekshiramiz.

∫
Г−`𝑌
𝜁 − 𝜁₀
(1.5)

2.