Amaliy matematika fakulteti tabiiy va iqtisodiyot fanlar kafedrasi

Referat reja Silindrik va sferik koordinatalar sistemasi. Chiziqlarning parametrik tenglamasi

MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI
O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI JIZZAX FILIALI
AMALIY MATEMATIKA FAKULTETI
TABIIY VA IQTISODIYOT FANLAR KAFEDRASI
IQTISOD YO’NALISHI 928-21-GURUH TALABASI
MARDIYEVA MUXLISANING
OLIY MATEMATIKA (MA’RUZA) FANIDAN TAYYORLAGAN
REFERAT

Reja

1. Silindrik va sferik koordinatalar sistemasi.
2. Chiziqlarning parametrik tenglamasi.
3. Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasi: klassifikatsiya qilish va
kanonik ko‘rinishga keltirish.

Silindrik va sferik koordinatalar
sonlar uchligiga fazo nuqtasining silindrik koordinatalari deyiladi, bu yerda nuqtaning tekislikka proyeksiyasi radius vektorining uzunligi, bu radius vektorning o‘q bilan tashkil qilgan burchagi, nuqtaning applikatasi (13-shakl).
Silindrik va dekart koordinatalari quyidagi bog‘lanishga ega:
,
bu yerda

sonlar uchligiga fazo nuqtasining sferik koordinatalari deyiladi, bu yerda nuqta radius vektorining uzunligi,

radius vektorning tekislikka proyeksiyasining o‘q bilan tashkil qilgan burchagi, radius vektorning o‘qdan og‘ish burchagi (14-shakl).
Sferik va dekart koordinatalari quyidagi bog‘lanishga ega

bu yerda .

Misol
To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida berilgan
nuqtaning silindrik va sferik koordinatalarini topamiz:

, chunki nuqta tekislikning

choragida yotadi,
Demak, berilgan nuqtaning silindrik koordinatalari
nuqtaning sferik koordinatalarini topamiz:

,
Demak,

Fazoda to’g’ri chiziq va uning parametrli va kanonik tenglamalari
Fazoda to’g’ri chiziqni ikkita tekislik kesishmasi kabi aniqlash mumkin. Quyidagi sistema to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi:


3. To’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari: 𝑥 = 𝑥₀ + 𝑙𝑡
𝑦 = 𝑦₀ + 𝑚𝑡
𝑧 = 𝑧₀ + 𝑝𝑡
bu yerda 𝑡 − parametr.
Ikkinchi tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini kanonik ko’rinishga keltirish
1. Quyidagi xossalarga ega ikkita 𝑂𝑥𝑦 va 𝑂𝑥₁𝑦₁ koordinatalar sistemasi berilgan:
𝑂𝑥 va 𝑂𝑥₁ o’qlar hamda 𝑂𝑦 va 𝑂𝑦1 o’qlar parallel va bir xil yo’nalgan, 𝑂𝑥₁𝑦₁ koordinatalar sistemasi boshi 𝑂₁ esa 𝑂𝑥𝑦 koordinatalar sistemasiga nisbatan ma’lum koordinatalarga ega 𝑂₁ = 𝑂₁ (𝑎, 𝑏) .
U holda ixtiyoriy M nuqtaning (𝑥, 𝑦) va (𝑥1, 𝑦1) koordinatalari quyidagicha bog’langan:
(1) formula koordinatalar o’qini parallel

ko’chirishda hosil bo’lgan koordinatalarni

topish formulasi bo’ladi.
2. Aytaylik ikkita 𝑂𝑥𝑦 va 𝑂𝑥₁𝑦₁ koordinatalar sistemasi umumiy koordinatalar boshiga

ega, 𝑂𝑥₁ o’qi esa 𝑂𝑥 o’qi bilan 𝛼 burchak hosil qiladi. U holda ixtiyoriy M nuqtaning

(𝑥, 𝑦) va (𝑥₁, 𝑦₁₎ koordinatalari quyidagicha bog’langan:

3. 𝑥 va 𝑦 o’zgaruvchilarga nisbatan ikkinchi tartibli tenglamaning

umumiy ko’rinishi quyidagicha:
𝐴𝑥² + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦² + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 (3)
Shunday 𝛼 burchak mavjudki, (3) tenglamani o’q atrofida 𝛼 burchakka
burish formulasini quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin:
𝐴₁𝑥² + 𝐶₁𝑦² + 𝐷₁𝑥₁+ 𝐸₁𝑦₁ + 𝐹₁ = 0 (4)
Bunda:
Mos 𝛼 burchakni quyidagi tenglikdan topish mumkin:
4. (4) tenglama parallel ko’chirish yordamida kanonik ko’rinishga olib kelinadi. Shuni ham ta’kidlab o’tish joizki, kanonik ko’rinishga olib kelingan tenglamaning ohirgi ko’rinishi geometrik tasvirga ega bo’lmasligi ham mumkin, masalan, 𝑥² + 𝑦² + 1 = 0 tenglamasi.

Misol 1.
8𝑥² + 4𝑥𝑦 + 5𝑦² − 56𝑥 − 32𝑦 + 80 = 0
ikkinchi tartibli tenglamani kanonik ko’rinishga keltiring.
Yechish.
Ushbu misolni batafsil ishlab chiqamiz.
a) Koordinata o’qlarini birinchi formulalar yordamida 𝛼 burchakka buramiz va quyidagiga ega bo’lamiz:
b) 𝑥₁𝑦₁ ko’paytmaga ega hadlarni alohida ajratib olamiz:

Ushbu ifoda ayniy nolga teng bo’lsin degan shart qo’yamiz. Bu quyidagi shartlarda o’rinli bo’ladi:

Undan 𝑡𝑔𝛼 = −2 va 𝑡𝑔𝛼 = 1/2 ni topamiz. 𝛼 burchakni shunday tanlaymizki, bunda 𝑂𝑥₁ o’qi 𝑂𝑥 o’qi bilan musbat 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1/2) burchak hosil qilsin.

𝑡𝑔𝛼 = ¹ tenglikdan quyidagilarga ega bo’lamiz:

c) Topilgan ifodalarni a) punktdagi ohirgi tenglamaga qo’yib quyidagilarga ega bo’lamiz:

4. Qavslarga mos sonlarni qo’shib (ayirib), ifodani to’la kvadrat holiga olib kelamiz:

   
   

4. Tenglamani kanonik ko’rinishga olib kelish uchun quyidagi almashtirishni va tenglamani 36 ga bo’lishni amalga oshiramiz

   
   

Barcha almashtirishlarni bajarganimizdan so’ng 𝑂₂𝑥₂𝑦₂ koordinatalar sistemasida yotuvchi quyidagi kanonik ko’rinishga ega ellips tenglamasini olamiz:

http://hozir.org