Amaliy matematika va informatika

ODDIY ITERATSION USUL

Faraz kilaylik, tizim biror usul bilan

Ax = b (2.1)
x + Cx + f (2.2)

ko`rinishga keltirilgan bo`lsin, bu erda S — qandaydir matritsa, f - vektor ustun. Dastlabki yaqinlashish vektori x⁽⁰⁾ biror usul bilan (masalan, x⁽⁰⁾ = 0) topilgan bo`lsin. Agar keyingi yaqinlashishlar

x^(k+1) = Cx^(k) + f (k=0,1,2, …)

rekkurent formula yordamida topilsa, bunday usul oddiy iteratsiya usuli deyiladi.

Agarda S matritsa elementlari

n

^{ C}ij i1

va

n

^{ C}ij i1

 a  1

   1

i  1,2,..., n

 j  1,2,..., n

(2.3)

(2.4)

shartlardan birortasini kanoatlantirsa, u xolda iteratsion jarayon berilgan tenglamaning x echimiga ixtiyoriy boshlangich x⁽⁰⁾ vektorda yaqinlashishi isbotlangan, ya`ni

x  lim

k 

_xk 

Shunday kilib, tizimning aniq echimi cheksiz qadamlar natijasida -hosil qilinadi va hosil kilingan ketma-ketlikning ixtiyoriy vektori taqribiy echimni beradi. Bu taqribiy echimning xatoligini quyidagi formulalardan biri orqali ifodalash mumkin:

^ x  x ^{k } |  ^

max

_x k  _{ x} k 1

(2.5)

^{ i} i



1

j1,2,... n ^{j j}

agarda (2.3) shart bajarilsa, yoki

x  x ^{k }  <sup>

n</sup> _x k  _{ x} k 1

(2.6)

^{i i} 1 

^ j j j1

agarda (2.4) shart bajarilsa. Bu baxolarni moc ravishda quyidagicha kuchaytirish mumkin:

mx_i  x ^{k }  ^ max x ^{k }  x ^{k 1}

eki

i _1 i i

n x  x ^{k }  <sup>

n</sup> _x k  _{ x} k 1

^{ i} i j1

1 

^ j j j1

Iteratsion jarayonlarni yuqoridagi baxolar oldindan berilgan aniqlikni kanoatlantirganda tugallaydilar.

Boshlangich x⁽⁰⁾ vektor, umuman olganda, ixtiyoriy tanlanishi mumkin. Ba`zan x<sup>(0)</sup> = f deb olishadi. Ammo x<sup>(0)</sup> vektorning komponentlari sifatida noma`lumlarning ko`pol taxminlarda aniqla-ngan qiymatlari olinadi.

(2.1) tizimni (2.2) ko`rinishga keltirishni bir necha xil usullarda amalga oshirish mumkin. Faqat (2.3) yoki (2.4) shartlardan birortasining bajarilishi lozim. Shunday usullardan ikkitasiga tuxtalamiz.

"Birinchi usul. Agarda A matritsaning diagonal elementlari noldan farqli bo`lsa, ya`ni

u xolda berilgan tizimni

a_ii  0 (I=1,2,…, n)

^ x₁ 


 ₁

1

^a11

b₁  a₁₂ x₂  ...  a_1n x_n 

_x2





^a22

b₂  a₂₂ x₁  a₂₃ x₃  ...  a_2n x_n 

(2.7)





^ x_n





... .................................

 ¹ b_n  a_n1 x₁  ...  a_n,n1 x_n1 

^ann

ko`rinishda yozish mumkin. Bu xolda S matritsa elementlari quyida-gicha aniqlanadi:

^Cij

_{ } ^aij

^aii

i 

j,

C_ii  0

hamda (2.3)va (2.4)shartlar mos ravishda quyidagi ko`rinishni qabul kiladi:

n



j1

j i

 a  1

i  1,2,..., n
(2.8)

n